Euklidski prostor

Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

Definicija

Neka je ${\displaystyle V}$ realni vektorski prostor i neka je ${\displaystyle \psi :V\times V\to \mathbb {R} }$ preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo ${\displaystyle v\cdot w}$ umjesto ${\displaystyle \psi (v,w)}$) za svaki ${\displaystyle u,v,w,\in V}$ i ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ :

1. ${\displaystyle v\cdot w=w\cdot v;}$
2. ${\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w;}$
3. ${\displaystyle \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w=v\cdot (\alpha w);}$
4. ${\displaystyle w\cdot w>0{\mbox{ ako i samo ako je }}v\neq 0.}$

Tada se ${\displaystyle \psi }$ zove skalarni produkt na ${\displaystyle V}$.

Ako na ${\displaystyle V}$ postoji skalarni produkt, onda se ${\displaystyle V}$ zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma

Euklidska norma ili duljina vektora ${\displaystyle w}$ je broj

${\displaystyle \|w\|={\sqrt {w\cdot w}}.}$

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle v\cdot w=\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi ,}$

tj. kut ${\displaystyle \varphi }$ između vektora ${\displaystyle v,w\in V}$ definiran je s

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}\right).}$

Ako je ${\displaystyle v\cdot w=0}$, očito je ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$, pa kažemo da su ${\displaystyle v}$ i ${\displaystyle w}$ okomiti ili ortogonalni vektori.

Vezani pojmovi

• skalarni produkt
• vektorsko polje
• vektorski prostor