Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:

${\displaystyle E_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}}$,

gdje je:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$

Alternativni zapisi su:

${\displaystyle E_{ij}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle E=(\delta _{ij})}$

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

${\displaystyle EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}}$

Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}$

Primjer:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}}$

Determinanta i inverz

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

${\displaystyle |E|=1}$

${\displaystyle E=E^{-1}}$

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

${\displaystyle EE^{-1}=E}$, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice

${\displaystyle E^{-1}EE^{-1}=E^{-1}E}$, množenje slijeva sa E^-1

${\displaystyle \underbrace {E^{-1}E} _{E}E^{-1}=\underbrace {E^{-1}E} _{E}}$, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E

${\displaystyle \underbrace {EE^{-1}} _{E^{-1}}=E}$, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

${\displaystyle E^{-1}=E}$, kraj dokaza