E (константа)

e, познат као Ојлеров број или Неперова константа, основа је природног логаритма и један од најзначајнијих бројева у савременој математици, поред неутрала сабирања и множења 0 и 1, имагинарне јединице број i и броја пи. Осим што је ирационалан и реалан, овај број је још и трансцедентан. До тридесетог децималног места, овај број износи:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352...

То је основа природних логаритама. То је граница (1 + 1/n)ⁿ како се n приближава бесконачности, израз који се јавља у проучавању сложеног интереса. Такође се може израчунати као збир бесконачног низа

$${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

То је такође јединствени позитивни број a такав да график функције y = a^x има нагиб од 1 на x = 0.

(природна) експоненцијална функција f(x) = e^x је јединствена функција f која је једнака сопственом изводу и задовољава једначину f(0) = 1; стога се e такође може дефинисати као f(1). Природни логаритам, или логаритам бази e, је инверзна функција природној експоненцијалној функцији. Природни логаритам броја k > 1 може се директно дефинисати као површина испод криве y = 1/x између x = 1 и x = k, у ком случају је e вредност k за коју је ова површина једнака један (погледајте слику). Постоје разне друге карактеристике.

Број e се понекад назива Ојлеровим бројем (не треба га мешати са Ојлеровом константом ${\displaystyle \gamma }$), по швајцарском математичару Леонхарду Ојлеру, или Напијеровом константом, по Џону Напијеру.^[1] Константу је открио швајцарски математичар Јакоб Бернули док је проучавао сложену камату.^[2][3]

Број e је од великог значаја у математици,^[4] поред 0, 1, π и i. Свих пет се појављују у једној формулацији Ојлеровог идентитета и играју важне и понављајуће улоге у математици.^[5][6] Као и константа π, e је ирационално (то јест, не може се представити као однос целих бројева) и трансцендентно (то јест, није корен ниједног полинома различитог од нуле са рационалним коефицијентима).^[1]

Дефиниције

Број e се може представити као:

1. Гранична вредност бесконачног низа:

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

2. Сума бесконачног низа:

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }$

   Где је n! факторијел n.

3. Позитивна вредност која задовољава следећу једначину:

   ${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$

   Може се доказати да су наведена три исказа еквивалентна.

4. Овај број се среће и као део Ојлеровог идентитета:

   ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}$

Историја

Прве референце на константу објављене су 1618. године у табели додатка дела о логаритмима Џона Напијера. Међутим, ово није садржало саму константу, већ једноставно листу логаритама за основу ${\displaystyle e}$. Претпоставља се да је табелу написао Вилијам Оутред.^[3]

Откриће саме константе приписује се Јакобу Бернулију 1683,^[7][8] који је покушао да пронађе вредност следећег израза (који је једнак e):

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Прва позната употреба константе, представљене словом b, била је у преписци Готфрида Лајбница са Кристијаном Хајгенсом 1690. и 1691. године.^[9] Леонхард Ојлер је увео слово e као основу за природне логаритме, пишући у писму Кристијану Голдбаху 25. новембра 1731.^[10][11] Ојлер је почео да користи слово e за константу 1727. или 1728. године, у необјављеном раду о експлозивним силама у топовима,^[12] док је прво појављивање e у једној публикацији било у Ојлеровој Механици (1736).^[13] Иако су неки истраживачи користили слово c у наредним годинама, слово e је било чешће и на крају је постало стандардно.

Референце

Литература

Спољашње везе

E на Викимедијиној остави.