Dedekinds psifunktion

Inom talteorin är Dedekinds psifunktion den aritmetiska funktionen

ψ ( n ) = n ∏ p | n ( 1 + 1 p ) . {\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}

Funktionen introducerades av Richard Dedekind.

De första värdena av ψ(n) är:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, 14, 24, 24, 24, 18, 36, 20, 36, 32, 36, 24, 48, 30, 42, 36, 48, 30, 72, 32, 48, 48, 54, 48, 72, 38, 60, 56, 72, 42, 96, 44, 72, 72, 72, 48, 96, 56, 90, 72, 84, 54, 108, 72, 96, 80, 90, 60, 144, 62, 96, 96, 96, 84, 144, 68, 108, 96, … (talföljd A001615 i OEIS)

ψ(n) är större än n för alla n större än 1 och är jämn för alla n större än 2. Om n är ett kvadratfritt tal är ψ(n) = σ(n).

Genererande funktionen av ψ kan ges med hjälp av Riemanns zetafunktion:

∑ ψ ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) ζ ( 2 s ) . {\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}

Detta är en konsekvens av ψ = I d ∗ | μ | {\displaystyle \psi =\mathrm {Id} *|\mu |} (se Dirichletfaltning).

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind psi function, 17 december 2013.

Källor

  • Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton  (sida 25, ekvation (1))
  • Carella, N. A. (2010). ”Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions”. 'arXiv:1012.4817'. 
  • Mathar, Richard J. (2011). ”Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions”. 'arXiv:1106.4038'.  Avsnitt 3.13.2
  • OEIS A065958 – ψ2
  • OEIS A065959 – ψ3
  • OEIS A065960 – ψ4

Externa länkar

  • Weisstein, Eric W., "Dedekind Function", MathWorld. (engelska)