Energiekvationen

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-02)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Energiekvationen bygger på Reynolds transportteorem (RTT) där den extensiva storheten B står för energi. Den intensiva storheten β blir då energi per enhet massa:

β = d E d m = e {\displaystyle \beta ={dE \over dm}={\mathit {e}}}

Grundform

Energiekvationen kan förenklas beroende på förhållanden men skrivs i grundform som:

d E d t s y s t = d Q d t − d W d t = d d t ( ∫ k v e ρ d V ) + ∫ k y e ρ ( V ⋅ n ) d A {\displaystyle {dE \over dt}_{syst}={dQ \over dt}-{dW \over dt}={d \over dt}{\Big (}\int _{kv}{\mathit {e}}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}{\mathit {e}}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}

där Q står för värme, W för arbete (alltså står d Q d t = Q ˙ {\displaystyle {dQ \over dt}={\dot {Q}}} för överfört värme per tidsenhet och d W d t = W ˙ {\displaystyle {dW \over dt}={\dot {W}}} för arbete per tidsenhet), kv för kontrollvolym och ky för kontrollyta. V är en hastighetsvektor och n är en enhetsvektor (negativ för inflöde och positiv för utflöde). e är summan av:

e = e i n t e r n + e k i n e t i s k + e p o t e n t i e l l + e a n n a n {\displaystyle {\mathit {e}}={\mathit {e}}_{intern}+{\mathit {e}}_{kinetisk}+{\mathit {e}}_{potentiell}+{\mathit {e}}_{annan}}

Den sista termen övrig rör kemiska eller nukleära reaktioner alternativt magnetfält och är därför nästan alltid lika med noll. e kan då skrivas om med u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} som intern energi och längden z ritkad uppåt:

e = u ^ + V 2 2 + g z {\displaystyle {\mathit {e}}={\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz}

Arbete per tidsenhet består av axelarbetet W ˙ s {\displaystyle {\dot {W}}_{s}} , de viskösa spänningarnas arbete W ˙ v {\displaystyle {\dot {W}}_{v}} samt tryckkrafternas arbete W ˙ p {\displaystyle {\dot {W}}_{p}} . De två senare är:

W ˙ p = ∫ k y p ( V ⋅ n ) d A {\displaystyle {\dot {W}}_{p}=\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA} W ˙ v = − ∫ k y τ ⋅ V d A {\displaystyle {\dot {W}}_{v}=-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA}

Där p är trycket i fluiden och τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } är spänningsvekorn. Alltså är arbetet (notera att de viskösa spänningarnas arbete är negativt):

W ˙ = W ˙ s + ∫ k y p ( V ⋅ n ) d A − ∫ k y τ ⋅ V d A {\displaystyle {\dot {W}}={\dot {W}}_{s}+\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA}

Energiekvationen kan då skrivas om till:

Q ˙ − W ˙ s − W ˙ v = d d t [ ∫ k v ( u ^ + V 2 2 + g z ) ρ d V ] + ∫ k y ( h ^ + V 2 2 + g z ) ρ ( V ⋅ n ) d A {\displaystyle {\dot {Q}}-{\dot {W}}_{s}-{\dot {W}}_{v}={d \over dt}{\Bigg [}\int _{kv}{\Big (}{\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho dV{\Bigg ]}+\int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}

h ^ {\displaystyle {\hat {h}}} står för entalpi och definieras som h ^ = u ^ + p ρ {\displaystyle {\hat {h}}={\hat {u}}+{p \over \rho }} .

Endimensionellt in- och utflöde

∫ k y ( h ^ + V 2 2 + g z ) ρ ( V ⋅ n ) d A = ∑ ( h ^ + V 2 2 + g z ) u t m ˙ u t − ∑ ( h ^ + V 2 2 + g z ) i n m ˙ i n {\displaystyle \int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{ut}{\dot {m}}_{ut}-\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{in}{\dot {m}}_{in}}

Stationär strömning, ett endimensionellt inlopp samt ett endimensionellt utlopp

h ^ 1 + V 1 2 2 + g z 1 = h ^ 2 + V 2 2 2 + g z 2 − q + w s + w v {\displaystyle {\hat {h}}_{1}+{V_{1}^{2} \over 2}+gz_{1}={\hat {h}}_{2}+{V_{2}^{2} \over 2}+gz_{2}-q+w_{s}+w_{v}}

där q = q ˙ m ˙       w s = Q ˙ m ˙       w v = W ˙ v m ˙ {\displaystyle q={{\dot {q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{s}={{\dot {Q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{v}={{\dot {W}}_{v} \over {\dot {m}}}}

Se även