Enhetsrot

De femte enhetsrötterna i det komplexa talplanet.

I matematik är en (n:te) enhetsrot en lösning till en ekvation av utseendet xn = 1, där n är något positivt heltal. I allmänhet avses då lösningar som är komplexa tal.

De n:te enhetsrötterna ligger utspridda jämnt på enhetscirkeln. De kan enkelt beskrivas på polär form, som

e 2 k π n i = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n , k = 0 , … , n − 1 . {\displaystyle e^{{2k\pi \over n}i}=\cos {2k\pi \over n}+i\sin {2k\pi \over n}\,,\quad k=0,\ldots ,n-1\,.}

Det är dock ibland intressantare att ange real- och imaginärdelarna direkt, som algebraiska uttryck. Exempelvis är de tredje enhetsrötterna

1 , − 1 + 3 i 2 {\displaystyle 1,{-1+{\sqrt {3}}i \over 2}} och − 1 − 3 i 2 {\displaystyle {-1-{\sqrt {3}}i \over 2}} ,

och de fjärde enhetsrötterna är helt enkelt 1, i, -1 och -i.

Primitiva enhetsrötter

En n:te enhetsrot ω är en primitiv n:te enhetsrot, om x = ω inte är en lösning på en ekvation xm = 1 för något positivt heltal m som är strikt mindre än n. Exempelvis är -1 en fjärde enhetsrot, därför att (-1)4 = 1, men -1 är inte en primitiv fjärde enhetsrot, eftersom även (-1)2 = 1. De primitiva tredje enhetsrötterna är − 1 + 3 i 2 {\displaystyle {-1+{\sqrt {3}}i \over 2}} och − 1 − 3 i 2 {\displaystyle {-1-{\sqrt {3}}i \over 2}} , och de primitiva fjärde enhetsrötterna är -i och i.

Litet abstraktare kan de primitiva n:te enhetsrötterna beskrivas som elementen av ordning n i den multiplikativa gruppen av nollskilda komplexa tal.

Källor

  • Beachy, John A.; William D. Blair (1996). Abstract algebra. Prospect Heights, Ill.: Waveland Press. ISBN 0-88133-866-4