Frenet–Serrets formler

Frenet-Serrets formler, namngivna efter de två franska matematikerna Jean Frédéric Frenet och Joseph Alfred Serret, vilka båda upptäckte formlerna oberoende av varandra, är i vektoranalys formler som beskriver de kinematiska egenskaperna hos en partikel vilken färdas längs en kontinuerlig, differentierbar kurva i ett tre-dimensionellt euklidiskt rum R3.

Naturliga koordinater

Det naturliga koordinatsystemet följer en punkt i en helix. Tangenten t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} representeras av den blåa pilen, normalen n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} av den röda och binormalen b ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}} av den svarta pilen.

Naturliga koordinater eller naturliga basen (ej att förväxla med talet e) är ett koordinatsystem som följer med en kurva i rummet, till skillnad från t.ex. ett kartesiskt koordinatsystem som är fixt i rummet. Det är i allmänhet svårt att räkna i naturliga koordinater, men dess teori ger värdefulla insikter om naturen hos en partikel som rör sig längs en kurva.

Basvektorerna är { t ^ , n ^ , b ^ } {\displaystyle \{{\hat {\mathbf {t} }},{\hat {\mathbf {n} }},{\hat {\mathbf {b} }}\}} , där t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} är en enhetsvektor i tangentens riktning, n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} är en enhetsvektor i normalriktningen (riktad mot krökningscentrum och vinkelrät mot t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} ) och b ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}} en enhetsvektor i binormalriktningen så att { t ^ , n ^ , b ^ } {\displaystyle \{{\hat {\mathbf {t} }},{\hat {\mathbf {n} }},{\hat {\mathbf {b} }}\}} bildar ett högersystem av ortonormala vektorer. Om kurvan parametriseras med s {\displaystyle s} , sträckan längs kurvan från en given startpunkt, kan t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} definieras enligt

t ^ = d r d s {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}

där r {\displaystyle \mathbf {r} } är en lägesvektor från en punkt fix i rummet.

Frenet-Serrets formler

Betrakta nu specialfallet att kurvan är en cirkel med radie R {\displaystyle R} . Allteftersom partikeln rör sig ( s {\displaystyle s} ökar) kommer t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} att vridas in mot cirkelns mitt (som är ett permanent krökningscentrum). Ju mindre radie, desto större ändring. Då gäller att

d t ^ d s = 1 R n ^ , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {t} }}}{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{R}}{\hat {\mathbf {n} }},} .

I allmänhet ändras krökningscentrum hela tiden, vilken då kan betecknas ρ {\displaystyle \rho } . Krökningen definieras då som κ = 1 ρ {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}} , så i allmänhet gäller

d t ^ d s = κ n ^ , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {t} }}}{\mathrm {d} s}}=\kappa {\hat {\mathbf {n} }},}

vilken är Frenet-Serrets första formel. De andra två formlerna är

d n ^ d s = τ b ^ − κ t ^ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {n} }}}{\mathrm {d} s}}=\tau {\hat {\mathbf {b} }}-\kappa {\hat {\mathbf {t} }}}

och

d b ^ d s = − τ n ^ , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {b} }}}{\mathrm {d} s}}=-\tau {\hat {\mathbf {n} }},}

där τ {\displaystyle \tau } är torsionen, som kan ses som ett mått på hur mycket kurvan avviker från att hela tiden ligga i samma plan.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia.