Partiell summation

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-05)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Partiell summation är inom matematik en formel för att omvandla summor av produkter till en ofta mer lätthanterlig form. Formeln kallas ibland för Abels lemma eller Abeltransformation och kan liknas med partiell integration.

Formel

Om ( a k ) {\displaystyle (a_{k})} och ( b k ) {\displaystyle (b_{k})} är talföljder så är

∑ k = m n a k ( b k + 1 − b k ) = a n + 1 b n + 1 − a m b m − ∑ k = m n b k ( a k + 1 − a k ) {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}(b_{k+1}-b_{k})=a_{n+1}b_{n+1}-a_{m}b_{m}-\sum _{k=m}^{n}b_{k}(a_{k+1}-a_{k})}

Detta kan uttryckas mer kompakt med framåtdifferensoperatorn Δ {\displaystyle \Delta } :

∑ k = m n a k Δ b k = a n + 1 b n + 1 − a m b m − ∑ k = m n b k Δ a k {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}\Delta b_{k}=a_{n+1}b_{n+1}-a_{m}b_{m}-\sum _{k=m}^{n}b_{k}\Delta a_{k}}