Pentagon

För andra betydelser, se Pentagon (olika betydelser).
En regelbunden pentagon

Pentagon, femhörning, är en polygon med fem hörn.[1] Ofta menas en regelbunden konvex pentagon vilken är en liksidig och likvinklig femhörning, det vill säga, alla sidor respektive vinklar är lika stora. De interna vinklarna i en enkel pentagon är totalt 540°.

Konstruktion

Pentagoner kan konstrueras med passare och rätskiva, något som beskrevs av Euklides i Elementa.

En metod är

  1. Rita en cirkel med mittpunkten O.
  2. Välj en punkt A på cirkeln som kommer att vara ett av pentagonens hörn. Dra en linje som går genom O och A.
  3. Konstruera en linje som går genom O och som är vinkelrät mot linjen genom O och A. Välj en av punkterna där den nya linjen går genom cirkeln och markera denna punkt som B.
  4. Konstruera punkten C som är mittpunkten mellan B och O.
  5. Rita en cirkel med mittpunkt i C som går genom A. Markera med D den punkt innanför den ursprungliga cirkeln där den nya cirkeln och linjen OB möts.
  6. Rita en cirkel med mittpunkt i A som går genom D. Markera skärningarna mellan denna cirkel och cirkeln från första steget som punkterna E och F.
  7. Rita en cirkel med mittpunkt i E som går genom A. Skärningen mellan denna cirkel och den ursprungliga cirkeln är G.
  8. Rita en cirkel med mittpunkt i F som går genom A. Skärningen mellan denna cirkel och den ursprungliga cirkeln är H.
  9. AEGHF är en pentagon.
Bevis

Sätt r = A O {\displaystyle r=AO} och a = A C {\displaystyle a=AC} .

Enligt Pythagoras sats är då

a 2 = r 2 + r 2 4 {\displaystyle a^{2}=r^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}} vilket medför att a = 5 r 2 {\displaystyle a={\frac {{\sqrt {5}}r}{2}}}

Sätt α = ∧ A C O {\displaystyle \alpha =\wedge ACO} och β = ∧ A O F {\displaystyle \beta =\wedge AOF} . Då är

cos ⁡ α = 1 5 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}}

Sätt slutligen d = A D {\displaystyle d=AD} (vilket också innebär att A E = d {\displaystyle AE=d} och A F = d {\displaystyle AF=d} , eftersom alla radier i en cirkel är lika långa).

Ur ovanstående följer enligt cosinussatsen att

d 2 = a 2 + a 2 − 2 a a cos ⁡ α = 5 r 2 2 − 5 r 2 2 1 5 = 5 r 2 2 ( 5 − 1 ) {\displaystyle d^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\,a\cos \alpha ={\frac {5r^{2}}{2}}-{\frac {5r^{2}}{2}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}={\frac {{\sqrt {5}}r^{2}}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}

Enligt cosinussatsen är då

cos ⁡ β = 2 r 2 − 5 2 r 2 ( 5 − 1 ) 2 r 2 = 1 − 5 4 ( 5 − 1 ) = 5 − 1 4 {\displaystyle \cos \beta ={\frac {2r^{2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}r^{2}\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2r^{2}}}=1-{\frac {\sqrt {5}}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} .

Detta medför att

  β = 72 ∘ = 360 ∘ 5 ( 1 ) {\displaystyle \ \beta =72^{\circ }={\frac {360^{\circ }}{5}}\quad (1)}

vilket visar att alla vinklar mot O av sidorna i AEGHF är lika stora, vilket medför att pentagonen verkligen är regelbunden.

Nyckelresultatet (1) kan exempelvis visas enligt:

Enligt identiteterna för de trigonometriska funktionerna är

cos ⁡ 18 ∘ = sin ⁡ 72 ∘ {\displaystyle \cos 18^{\circ }=\sin 72^{\circ }} .

Efter upprepad användning av trigonometriska funktioner för dubbla vinkeln är

sin ⁡ 72 ∘ = 2 sin ⁡ 36 ∘ cos ⁡ 36 ∘ = 2 ⋅ 2 sin ⁡ 18 ∘ cos ⁡ 18 ∘ ( 1 − 2 sin 2 ⁡ 18 ∘ ) {\displaystyle \sin 72^{\circ }=2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }=2\cdot 2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }\left(1-2\sin ^{2}18^{\circ }\right)} .

Ur likheten

cos ⁡ 18 ∘ = 2 ⋅ 2 sin ⁡ 18 ∘ cos ⁡ 18 ∘ ( 1 − 2 sin 2 ⁡ 18 ∘ ) {\displaystyle \cos 18^{\circ }=2\cdot 2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }\left(1-2\sin ^{2}18^{\circ }\right)}

erhålls genom att sätta

x = sin ⁡ 18 ∘ {\displaystyle x=\sin 18^{\circ }}

ekvationen

1 = 4 x ( 1 − 2 x 2 ) {\displaystyle 1=4x\left(1-2x^{2}\right)}

vilken har lösningarna

x 1 = − 5 + 1 4 , x 2 = 5 − 1 4 , x 3 = 1 2 {\displaystyle x_{1}=-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},\quad x_{2}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\quad x_{3}={\frac {1}{2}}}

varav x 1 {\displaystyle x_{1}} och x 3 {\displaystyle x_{3}} förkastas.

Alltså är

sin ⁡ 18 ∘ = 5 − 1 4 {\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}

och enligt identiterna för de trigonometriska funktionerna är därför

cos ⁡ 72 ∘ = sin ⁡ 18 ∘ = cos ⁡ β {\displaystyle \cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }=\cos \beta }

och alltså gäller verkligen att Β är 72 ∘ {\displaystyle 72^{\circ }} , vilket är (1), det som skulle visas.

Pentagoner i naturen

Se även

  • Pentagram

Referenser

  1. ^ ”pentagon”. ne.se. https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/pentagon-(2). Läst 13 november 2018. 
v • r
Polygoner efter antal hörn
Trianglar
Likbent triangel · Liksidig triangel · Rätvinklig triangel
Fyrhörningar
Övriga
Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagon (7) · Oktogon (8) · Nonagon (9) · Dekagon (10) · Hendekagon (11) · Dodekagon (12) · Tridekagon (13) · Tetradekagon (14) · Pentadekagon (15) · Heptadekagon (17) · Ikosagon (20) · Ikositetragon (24) · Hektogon (100) · 4294967295-hörning