Çarpık-simetrik matris

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik (veya antisimetrik veya antimetrik[1]) matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani − A = A T {\displaystyle -A=A^{T}} durumunu sağlar. Eğer i {\displaystyle i} satırı ve j {\displaystyle j} sütunundaki giriş a i j {\displaystyle a_{ij}} ise, çarpık-simetrik matris a i j = − a j i {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}} ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

[ 0 2 − 1 − 2 0 − 4 1 4 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}.}

Özellikler

  • İki çarpık-simetrik matrisin toplamı yine çarpık-simetriktir.
  • Bir sabitle çarpılan çarpık-simetrik matris yine çarpık-simetriktir.
  • Çarpık-simetrik matrisin köşegeni üzerindeki elemanlar sıfırdır, dolayısıyla ilkköşegen toplamı da sıfırdır.
  • Eğer çarpık-simetrik matris A {\displaystyle A} 'nın elemanları gerçel sayılarsa (yani F = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } ), det ( A ) ≥ 0 {\displaystyle \det(A)\geq 0} 'dır.
  • Eğer çarpık-simetrik matris A {\displaystyle A} gerçelse ve λ {\displaystyle \lambda } gerçel bir özdeğer (eigen değer) ise, λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} 'dır.
  • Bir gerçel çarpık-simetrik matrisin ( A {\displaystyle A} ) birim matrisle ( I {\displaystyle I} ) toplamı I + A {\displaystyle I+A} tersinirdir.

Çapraz çarpım

3x3'lük çarpık-simetrik matrisler kullanılarak çapraz çarpım matris çarpımı olarak ifade edilebilir. a = ( a 1   a 2   a 3 ) T {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1}\ a_{2}\ a_{3})^{\mathrm {T} }} ve b = ( b 1   b 2   b 3 ) T {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1}\ b_{2}\ b_{3})^{\mathrm {T} }} 3 boyutlu vektörler olsun. Çarpık-simetrik matris

[ a ] × = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}

kullanılarak çapraz çarpım yeniden yazılabilir:

a × b = [ a ] × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} }

Ayrıca bakınız

  • Simetrik matris
  • Çarpık-Hermisyen matris
  • Simplektik matris

Kaynakça

  1. ^ Richard A. Reyment, K. G. Jöreskog, Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. s. 68. ISBN 0-521-57556-7. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

Daha fazla bilgi

  • Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8. 
  • Suprunenko, D. A. (2001), "Skew-symmetric matrix", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu  Bilinmeyen parametre |urlname= görmezden gelindi (yardım)
  • Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 

Dış bağlantılar

  • "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. 7 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
  • Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK - Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems". 18 Mart 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
  • Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3). s. 286. doi:10.1145/355791.355799.  Fortran23 Ocak 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Fortran9030 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.