Bergman çekirdeği

Matematiğin bir alanı olan çok değişkenli kompleks analizde, Bergman çekirdeği, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonlardan oluşan Hilbert uzayının (yani Bergman uzayının) doğuran çekirdeğidir. Stefan Bergman'ın ardından isimlendirilmiştir.

Cⁿ'deki bir D bölgesinde karesi integrallenebilir fonksiyonları L²(D) ile gösterelim. Ayrıca, D bölgesinde tanımlı olan holomorf fonksiyonların uzayını da H(D) ile gösterelim. O zaman, Bergman uzayı ${\displaystyle L^{2,h}(D):=L^{2}(D)\cap H(D)}$, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonların uzayı olacaktır ve şu özellikere sahiptir.

• L^2,h(D) Hilbert uzayıdır:
  • Öncelikle Bergman uzayı tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan L²(D)'nin doğrusal bir altuzayıdır.
  • Aynı zamanda, Bergman uzayı, L²(D) içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi D'nin her tıkı alt kümesi için ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$ eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin L²(D) içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. L²(D) zaten tam olduğu için limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden limit fonksiyonu da L^2,h(D) içindedir.

• Yukarıda bahsedilen ${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$ eşitsizliğinin D'nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda D içindeki her z noktası için, ${\displaystyle ev_{z}:f\mapsto f(z)}$ gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka değişle, D içindeki her z noktası için, L^2,h(D) uzayında bulunan fonksiyonların 'z' noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör L^2,h(D)'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

Bergman çekirdeği K, ${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}$ olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği K(z,\zeta;), z değişkeninde holomorf ve ${\displaystyle \zeta }$ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki eşitliği sağlar.

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Başka bir deyişle, D içindeki her z noktası için, ${\displaystyle L^{2,h}(D)}$ içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun z noktasında değerlendirmesini geri verir. z noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından tekraradan üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Bergman çekirdeği, karmaşık sayılar düzlemdeki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.

• Birim disk: ${\displaystyle D=\mathbb {D} (0,1)=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert <1\}\,}$ ise, o zaman

$${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}},\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ).}$$

• (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem: ${\displaystyle D=\mathbb {C} _{+}=\{z\in \mathbb {C} :\vert Rez>0\}\,}$ ise, o zaman^[1]

${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}).}$

• Bergman metriği
• Bergman uzayı
• Szegő çekirdeği