Episikloid

Kırmızı eğri, küçük çemberin (yarıçap r = 1) büyük çemberin (yarıçap R = 3) dışında yuvarlanmasıyla izlenen bir episikloiddir.

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır),[1] sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna episikl (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler

Eğer küçük çemberin yarıçapı r ve büyük çemberin yarıçapı R = kr ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

x ( θ ) = ( R + r ) cos ⁡ θ   − r cos ⁡ ( R + r r θ ) y ( θ ) = ( R + r ) sin ⁡ θ   − r sin ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}

veya:

x ( θ ) = r ( k + 1 ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) y ( θ ) = r ( k + 1 ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( ( k + 1 ) θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{aligned}}}

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde[2]

z ( θ ) = r ( ( k + 1 ) e i θ − e i ( k + 1 ) θ ) {\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}

burada;

  • θ açısı devirler halindedir: θ ∈ [ 0 , 2 π ] . {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ].}
  • r: daha küçük çemberin yarıçapı
  • kr: daha büyük çemberin yarıçapı

Alan

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) k pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

A = ( k + 1 ) ( k + 2 ) π r 2 . {\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.}

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden ( k + 1 ) ( k + 2 ) k 2 {\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}} kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer k pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve k tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer k bir rasyonel sayı ise, örneğin k = p / q indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri p tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:
θ = 0'dan q'ya kadar döngü
α = 0'dan p'ya kadar döngü
dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü = p + q döngüdür.

p ve q'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer k bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile R + 2r yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

OP (x = 0, y = 0) orijininden (küçük çember üzerindeki p noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

R ≤ O P ¯ ≤ R + 2 r {\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}

burada

  • R = büyük çemberin yarıçapı ve
  • 2r = küçük çemberin çapıdır.
  • Episikloid örnekleri
  • k = 1; bir kardioid
    k = 1; bir kardioid
  • k = 2; bir nefroid
    k = 2; bir nefroid
  • k = 3; bir trefoiloid
    k = 3; bir trefoiloid
  • k = 4; bir quatrefoiloid
    k = 4; bir quatrefoiloid
  • k = 2,1 = 21/10
    k = 2,1 = 21/10
  • k = 3,8 = 19/5
    k = 3,8 = 19/5
  • k = 5,5 = 11/2
    k = 5,5 = 11/2
  • k = 7,2 = 36/5
    k = 7,2 = 36/5

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.[3]

İspat

İspat için taslak çizim

Çözmek istediğimiz şeyin p {\displaystyle p} konumu olduğunu, α {\displaystyle \alpha } 'nın teğet noktadan hareketli p {\displaystyle p} noktasına olan açı olduğunu ve θ {\displaystyle \theta } 'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

ℓ R = ℓ r {\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

ℓ R = θ R {\displaystyle \ell _{R}=\theta R}

ve

ℓ r = α r {\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

θ R = α r {\displaystyle \theta R=\alpha r} .

Buradan, α {\displaystyle \alpha } ve θ {\displaystyle \theta } arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

α = R r θ {\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta } .

Şekilden, p {\displaystyle p} noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

x = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( θ + α ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}
y = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( θ + α ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) {\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}

Ayrıca bakınız

turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)[4]
  • Periyodik fonksiyonlar listesi
  • Sikloid
  • Siklogon
  • Taşıyıcı ve episikl
  • Episiklik dişli
  • Epitrokoid
  • Hiposikloid
  • Hipotrokoid
  • Multibrot seti
  • Yuvarlanma eğrisi
  • Spirograf

Notlar

  1. ^ "Solidworks tutorial creating a Cycloid Epicycloid Curve". 31 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 
  2. ^ Chunlei Cao, Alastair Fletcher & Zhuan Ye (2015). "Epicycloids and Blaschke products". 18 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 
  3. ^ Eric W. Weisstein, Epicycloid Evolute (MathWorld)
  4. ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago". Maecla. 11 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023. 

Kaynakça

  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curvesÜcretsiz kayıt gerekli. Dover Publications. ss. 161,168-170,175. ISBN 978-0-486-60288-2. 

Dış bağlantılar