Toplam sembolü

Toplam sembolü, (∑) bir sayı dizisinin toplamını gösteren matematik sembolü'dür. ∑ (Sigma), Yunan alfabesi'ndeki bir harftir.

∑ k = v a {\displaystyle \sum _{k=v}^{a}} Burada a üst sınır. v ise alt sınırdır ve v den a ya kadar toplamdır.

Toplam sembolünün kuralları

∑ k = 1 a k 1 = 1 2 a ( a + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{1}={\frac {1}{2}}a(a+1)}
∑ k = 1 a k 2 = 1 6 a ( a + 1 ) ( 2 a + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{2}={\frac {1}{6}}a(a+1)(2a+1)}
∑ k = 1 a k 3 = 0 , 5 2 a 2 ( a + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{3}=0,5^{2}a^{2}(a+1)^{2}}

Özel toplam teoremleri

∑ k = 1 a k 4 = 1 30 a ( a + 1 ) ( 2 a + 1 ) ( 3 a 2 + 3 a − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{4}={\frac {1}{30}}a(a+1)(2a+1)(3a^{2}+3a-1)}
∑ k = 1 a k 5 = 1 12 a 2 ( a + 1 ) 2 ( 2 a 2 + 2 a − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{5}={\frac {1}{12}}a^{2}(a+1)^{2}(2a^{2}+2a-1)}
∑ k = 1 a k 6 = 1 42 a ( a + 1 ) ( 2 a + 1 ) ( 3 a 4 + 6 a 3 − a + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{6}={\frac {1}{42}}a(a+1)(2a+1)(3a^{4}+6a^{3}-a+1)}
∑ k = 1 a k 7 = 1 24 a 2 ( a + 1 ) 2 ( 3 a 4 + 6 a 3 − a 2 − 4 a + 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{7}={\frac {1}{24}}a^{2}(a+1)^{2}(3a^{4}+6a^{3}-a^{2}-4a+2)}
∑ k = 1 a k 8 = 1 90 a ( 10 a 8 + 45 a 7 + 60 a 6 − 42 a 4 + 20 a 2 − 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}k^{8}={\frac {1}{90}}a(10a^{8}+45a^{7}+60a^{6}-42a^{4}+20a^{2}-3)}

Toplam sembolünün özellikleri

∑ k = 1 a v = a v {\displaystyle \sum _{k=1}^{a}v=av}
∑ k = l a v = ( a − l + 1 ) v {\displaystyle \sum _{k=l}^{a}v=(a-l+1)v}
∑ k = l a ( a k + b k + c k . . . ) = ∑ k = l a a k + ∑ k = l a b k + ∑ k = l a c k + . . . {\displaystyle \sum _{k=l}^{a}(a_{k}+b_{k}+c_{k}...)=\sum _{k=l}^{a}a_{k}+\sum _{k=l}^{a}b_{k}+\sum _{k=l}^{a}c_{k}+...}
∑ k = l a ( a k − b k − c k . . . ) = ∑ k = l a a k − ∑ k = l a b k − ∑ k = l a c k − . . . {\displaystyle \sum _{k=l}^{a}(a_{k}-b_{k}-c_{k}...)=\sum _{k=l}^{a}a_{k}-\sum _{k=l}^{a}b_{k}-\sum _{k=l}^{a}c_{k}-...}