Zeta sabiti

Matematikte zeta sabiti, bir tam sayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tam sayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu

Sıfırda

ζ ( 0 ) = B 1 = − 1 2 . {\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}

eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

ζ ( 1 ) = ∞ . {\displaystyle \zeta (1)=\infty .\,}

Pozitif tam sayılar

Pozitif çift tam sayılar

Pozitif çift tam sayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}

n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.

ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 = 1.6449 … {\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots } ; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.
ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 = 1.0823 … {\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots } ; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.
ζ ( 6 ) = 1 + 1 2 6 + 1 3 6 + ⋯ = π 6 945 = 1.0173... … {\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots }
ζ ( 8 ) = 1 + 1 2 8 + 1 3 8 + ⋯ = π 8 9450 = 1.00407... … {\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots }
ζ ( 10 ) = 1 + 1 2 10 + 1 3 10 + ⋯ = π 10 93555 = 1.000994... … {\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots }
ζ ( 12 ) = 1 + 1 2 12 + 1 3 12 + ⋯ = 691 π 12 638512875 = 1.000246 … {\displaystyle \zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }
ζ ( 14 ) = 1 + 1 2 14 + 1 3 14 + ⋯ = 2 π 14 18243225 = 1.0000612 … {\displaystyle \zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }

Pozitif çift tam sayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

0 = A n ζ ( n ) − B n π n {\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,}

Burada A n {\displaystyle A_{n}} ve B n {\displaystyle B_{n}} tüm çift n değerlerine karşılık gelen tam sayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Katsayılar
2n A B
2 6 1
4 90 1
6 945 1
8 9450 1
10 93555 1
12 638512875 691
14 18243225 2
16 325641566250 3617
18 38979295480125 43867
20 1531329465290625 174611
22 13447856940643125 155366
24 201919571963756521875 236364091
26 11094481976030578125 1315862
28 564653660170076273671875 6785560294
30 5660878804669082674070015625 6892673020804
32 62490220571022341207266406250 7709321041217
34 12130454581433748587292890625 151628697551

η n {\displaystyle \eta _{n}} 'nin yukarıda gösterildiği gibi B / A {\displaystyle B/A} katsayısı olması durumunda

ζ ( 2 n ) = ∑ ℓ = 1 ∞ 1 ℓ 2 n = η n π 2 n , {\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},}

eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle

η 1 = 1 6 ; {\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}};}
η n = ∑ ℓ = 1 n − 1 ( − 1 ) ℓ − 1 η n − ℓ ( 2 ℓ + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 1 n ( 2 n + 1 ) ! . {\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.}

ifadesine ulaşılır.

Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.

Çift sayılarda geçerli olan dizi, 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.

π 2 cot ⁡ ( π x ) = 1 2 x − 1 − π 2 6 x − π 4 90 x 3 − π 6 945 x 5 + . . . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cot(\pi x)={\frac {1}{2}}x^{-1}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}x-{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{3}-{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{5}+...}

Pozitif tek tam sayılar

İlk birkaç tek doğal sayı için

ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ {\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty } ; Harmonik seri.
ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ = 1.20205 … {\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots } ; Apéry sabiti
ζ ( 5 ) = 1 + 1 2 5 + 1 3 5 + ⋯ = 1.03692 … {\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots }
ζ ( 7 ) = 1 + 1 2 7 + 1 3 7 + ⋯ = 1.00834 … {\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots }
ζ ( 9 ) = 1 + 1 2 9 + 1 3 9 + ⋯ = 1.002008 … {\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots }

eşitlikleri sağlanır.

ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kayda değer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

ζ(5)

Plouffe

ζ ( 5 ) = 1 294 π 5 − 72 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n − 1 ) − 2 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}

ve

ζ ( 5 ) = 12 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 sinh ⁡ ( π n ) − 39 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n − 1 ) − 1 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}

özdeşliklerini bulmuştur.

ζ(7)

ζ ( 7 ) = 19 56700 π 7 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 7 ( e 2 π n − 1 ) {\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}}

Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

ζ(2n+1)

S ± ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ( e 2 π n ± 1 ) {\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}

şeklinde tanımlanan büyüklükler

0 = A n ζ ( n ) − B n π n + C n S − ( n ) + D n S + ( n ) {\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)\,}

biçiminde ilişki dizileri verir. Burada A n , B n , C n {\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}} ve D n {\displaystyle D_{n}} pozitif tam sayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.

Katsayılar
n A B C D
3 180 7 360 0
5 1470 5 3024 84
7 56700 19 113400 0
9 18523890 625 37122624 74844
11 425675250 1453 851350500 0
13 257432175 89 514926720 62370
15 390769879500 13687 781539759000 0
17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100
19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0
21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.

Negatif tam sayılar

Negatif tam sayılar için

ζ ( − n ) = − B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}

eşitliği sağlanır.

n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} için

"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tam sayılarda rastlanır.

ζ ( − 2 n ) = 0. {\displaystyle \zeta (-2n)=0.\,}

Negatif tek tam sayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

ζ ( − 1 ) = − 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}
ζ ( − 3 ) = 1 120 {\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}}
ζ ( − 5 ) = − 1 252 {\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}}
ζ ( − 7 ) = 1 240 . {\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}

Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tam sayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.

Türevleri

Zeta fonksiyonunun negatif çift tam sayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.

ζ ′ ( − 2 n ) = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 ( 2 π ) 2 n ζ ( 2 n + 1 ) . {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1).}

Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:

ζ ′ ( − 2 ) = − ζ ( 3 ) 4 π 2 {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2)=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}}
ζ ′ ( − 4 ) = 3 4 π 4 ζ ( 5 ) {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-4)={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)}
ζ ′ ( − 6 ) = − 45 8 π 6 ζ ( 7 ) {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-6)=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)}
ζ ′ ( − 8 ) = 315 4 π 8 ζ ( 9 ) . {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-8)={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9).}

Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.

ζ ′ ( 0 ) = − 1 2 log ⁡ ( 2 π ) ≈ − 0.918938533 … {\displaystyle \zeta ^{\prime }(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )\approx -0.918938533\ldots }
ζ ′ ( − 1 ) = 1 12 − log ⁡ A ≈ − 0.165421137 … {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\log A\approx -0.165421137\ldots }

Burada A {\displaystyle A} Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.

Zeta Sabitleri Toplamı

∑ k = 2 ∞ ( ζ ( k ) − 1 ) = 1 {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)=1}

Kaynakça

  • Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler30 Ocak 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", (1998).
  • Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler (2. Bölüm)4 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. PDF26 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." (2006).
  • Linas Vepstas, "Plouffe'nin Ramanujan Özdeşlikleri Üzerine9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", ArXiv Math.NT/0609775 (2006).
  • Wadim Zudilin, "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasyonel." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF24 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. PS24 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Rusça) PDF16 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Rusça) PS11 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.