Định lý Heine–Borel

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

• A là tập đóng và bị chặn.
• Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là compact.

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con ${\displaystyle A}$ của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn.

Chứng minh

Giả sử ${\displaystyle A}$ compact. Vì ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ là không gian Hausdorff nên ${\displaystyle A}$ đóng. Lấy một họ

${\displaystyle \left\{B(0,m)|m\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}}$

các phủ mở của ${\displaystyle A}$. Vì ${\displaystyle A}$ compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có ${\displaystyle M}$ sao cho ${\displaystyle A\subset B(0,M)}$. Nên, với hai điểm bất kỳ ${\displaystyle x}$ và ${\displaystyle y}$ của ${\displaystyle A}$, ta có ${\displaystyle d(x,y)\leq 2M}$. Vậy ${\displaystyle A}$ bị chặn.

Ngược lại, nếu ${\displaystyle A}$ đóng và bị chặn, giả sử ${\displaystyle d(x,y)\leq N}$ với mọi ${\displaystyle x,y\in A}$. Cố định một điểm ${\displaystyle x_{0}}$ của ${\displaystyle A}$, đặt ${\displaystyle d(x_{0},0)=b}$. Khi đó, với mọi ${\displaystyle x\in A}$ thì

${\displaystyle d(x,0)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},0)\leq N+b}$.

Đặt ${\displaystyle P=N+b}$, thì ${\displaystyle A}$ là tập con của ${\displaystyle [-P,P]^{n}}$, là tập compact. Vì ${\displaystyle A}$ đóng nên ${\displaystyle A}$ cũng compact.

Tham khảo

• James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Bổ đề HAINƠ - BÔREN tại Từ điển bách khoa Việt Nam