Định lý con bướm

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi ${\displaystyle X'}$ và ${\displaystyle X''}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi ${\displaystyle Y'}$ và ${\displaystyle Y''}$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Do

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY'}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY''}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''}}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY''}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY}}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY'}$

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}}$

Từ các đẳng thức trên, ta có

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}.{XX'' \over YY''}={AX.DX \over CY.BY}}$

${\displaystyle ={PX.QX \over PY.QY}}$ (xem Phương tích)

${\displaystyle ={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

${\displaystyle {MX^{2} \over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} \over PM^{2}}=1}$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
• Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
• Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem" từ MathWorld.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s