Mô hình Black–Scholes

Mô hình Black–Scholes hay Mô hình Black–Scholes–Merton là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.

Công thức Black - Scholes

Công thức Black - Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black - Scholes là:

${\displaystyle C(t,S)=Se^{-\delta (T-t)}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{K}})+(r-\delta +{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}.}$

Giá của quyền chọn bán là:

${\displaystyle P(t,S)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).\ }$

Với:

• N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
• T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
• S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
• K là giá điểm (strike price).
• r là lãi suất không rủi ro.
• ${\displaystyle \sigma }$ là biến động giá của tài sản gốc
• ${\displaystyle \delta }$ cổ tức được trả và tái đầu tư ngay lập tức vào cổ phiếu.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Âu

Phương trình Black Scholes là một phương trình đạo hàm riêng trong đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phái sinh theo thời gian và theo sản phẩm sản phẩm nền(underlying asset). Phương trình như sau

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}(t,S)+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}(t,S)+{\frac {1}{2}}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}}(t,S)-rV(t,S)=0}$ trên miền ${\displaystyle S\in \left[0,+\infty \right),t\in \left[0,T\right].}$

với ràng buộc payofff của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn ${\displaystyle T}$ là

${\displaystyle V(T,S)=\Phi (S)}$

ví dụ

${\displaystyle \Phi (S)=(S-K)_{+}}$ khi sản phẩm phái sinh là quyền chọn mua hoặc

${\displaystyle \Phi (S)=(K-S)_{+}}$ trong trường hợp sản phẩm phái sinh là quyền chọn bán.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Mỹ

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\min \left({\frac {\partial V}{\partial t}}(t,S)+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}(t,S)+{\frac {1}{2}}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}}(t,S)-rV(t,S),V(t,S)-\Phi (S)\right)=0,S\in \left[0,+\infty \right),t\in \left[0,T\right]\\&V(T,S)=\Phi (S)\\\end{aligned}}\right.}$

Mô phỏng Monte Carlo

Lược đồ ${\displaystyle \theta }$

Ước lượng các tham số của mô hình

Tham khảo

Tham khảo chính

• Black, Fischer (1973). Myron Scholes. “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062. [1] (Black and Scholes' original paper.)
• Merton, Robert C. (1973). “Theory of Rational Option Pricing”. Bell Journal of Economics and Management Science. 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143. [2]

Các khía cạnh lịch sử và xã hội

• Bernstein, Peter (1993). Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. The Free Press. ISBN 0-02-903012-9.
• MacKenzie, Donald (2003). “An Equation and its Worlds: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics”. Social Studies of Science. 33 (6): 831–868. doi:10.1177/0306312703336002. [3]
• MacKenzie, Donald (2003). Yuval Millo. “Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange”. American Journal of Sociology. 109 (1): 107–145. doi:10.1086/374404. [4] Lưu trữ 2012-12-15 tại Archive.today
• MacKenzie, Donald (2006). An Engine, not a Camera: How Financial Models Shape Markets. MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.

Liên kết ngoài

Discussion of the model

• The Black–Scholes Model, global-derivatives.com
• Options pricing using the Black-Scholes Model Lưu trữ 2008-02-08 tại Wayback Machine, Investment Analysts Society of Southern Africa
• Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences Lưu trữ 2007-09-27 tại Wayback Machine, by Ajay Shah
• A Study of Option Pricing Models^{[liên kết hỏng]}, Prof. Kevin Rubash
• Black-Scholes in English, risklatte.com
• The Black–Scholes Option Pricing Model, optiontutor
• Inside Wall Street's Black Hole by Michael Lewis, March 2008 Issue of portfolio.com
• Whither Black-Scholes? Lưu trữ 2008-07-25 tại Wayback Machine by Pablo Triana, April 2008 Issue of Forbes.com
• Mispriced risk tests market faith in a prized formula April 2008 Financial Times
• Black–Scholes Model & Binomial Model, OptionTradingpedia.com

Cách thiết lập phương trình và lời giải

• The risk neutrality derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
• Arbitrage-free pricing derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com, or an alternative treatment Lưu trữ 2008-09-07 tại Wayback Machine, Prof. Thayer Watkins
• Solving the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
• Solution of the Black–Scholes Equation Using the Green's Function, Prof. Dennis Silverman
• Solution via risk neutral pricing or via the PDE approach using Fourier transforms Lưu trữ 2008-09-10 tại Wayback Machine (includes discussion of other option types), Simon Leger
• Step-by-step derivation of delta from the Black-Scholes equation (site also contains step-by-step derivations of some of the other greeks), quantnotes.com
• Step-by-step solution of the Black-Scholes PDE Lưu trữ 2008-09-18 tại Wayback Machine, planetmath.org.

Thử nghiệm mô hình

• Anomalies in option pricing: the Black–Scholes model revisited Lưu trữ 2008-01-23 tại Wayback Machine, New England Economic Review, March-April, 1996
• Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula, Nassim Taleb và Espen Haug
• The illusions of dynamic replication Lưu trữ 2008-07-03 tại Wayback Machine, Emanuel Derman và Nassim Taleb

Mã máy tính

• Sourcecode
  • Black–Scholes in Multiple Languages, espenhaug.com
  • VBA sourcecode for Black Scholes and Greeks, global-derivatives.com
• Excel
  • Option Pricing Spreadsheet with documented VBA, OptionTradingTips.com
  • Excel spreadsheet with VBA sourcecode Lưu trữ 2007-09-28 tại Wayback Machine, quantnotes.com
  • Excel implementation and tutorial Lưu trữ 2008-03-31 tại Wayback Machine, researchkitchen.co.uk
• Real Time
  • Black-Scholes tutorial based on graphic simulations, Jerry Marlow
  • Surface Plots of Black-Scholes Greeks, Chris Murray
  • Real-time calculator of Call and Put Option prices when the underlying follows a Mean-Reverting Geometric Brownian Motion Lưu trữ 2008-09-19 tại Wayback Machine, by Razvan Pascalau, Univ. of Alabama
  • Black & Scholes calculator, with profitability of some operations, epx.com.br

Historical

• The Sveriges Riksbank (Bank of Sweden) Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel for 1997
• Trillion Dollar Bet—Companion Web site to a Nova episode originally broadcast on 8 tháng 2 năm 2000. "The film tells the fascinating story of the invention of the Black-Scholes Formula, a mathematical Holy Grail that forever altered the world of finance and earned its creators the 1997 Nobel Prize in Economics."
• BBC Horizon A TV-programme on the so-called Midas formula and the bankruptcy of Long-Term Capital Management (LTCM)
• BBC Horizon - The Midas Formula (1999). Documentary available at Stage6.