Nhị diện

Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng có chung bờ là một đường thẳng. Mỗi nửa mặt phẳng đó gọi là một mặt của nhị diện và đường thẳng chung gọi là cạnh của nhị diện

Kí hiệu

Nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (α), (β) có chung bờ là a được kí hiệu là [α, a, β] hoặc là [α, β] hoặc [a] nếu không sợ bị nhầm với nhị diện khác. Nếu a chứa tia Ox thì ta cũng nói Ox là cạnh của nhị diện

Góc của nhị diện

Cắt nhị diện [α, a, β] bởi mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O. Giao tuyến của (P) với (α) và (β) lần lượt là hai tia Ox và Oy. Khi đó x O y ^ {\displaystyle {\widehat {xOy}}} gọi là góc của nhị diện [α, a, β], hay nói gọn là góc nhị diện [α, β].

Số đo góc của nhị diện [α, a, β] cũng được kí hiệu là [α, β] hoặc đơn giản là [a] nếu không cần phân biệt

Từ I ∈ {\displaystyle \in } (α) và J ∈ {\displaystyle \in } (β) với I, J ∉ {\displaystyle \not \in } a, hạ IK ⊥ {\displaystyle \perp } a, JH ⊥ {\displaystyle \perp } a, khi đó ta có [α, β] = ( H I → , K J → {\displaystyle {\overrightarrow {HI}},{\overrightarrow {KJ}}} )

Công thức tính góc của nhị diện tạo bởi 3 tia:

Cho 3 tia Ox, Oy, Oz trong đó y O z ^ = α {\displaystyle {\widehat {yOz}}=\alpha } , x O z ^ = β {\displaystyle {\widehat {xOz}}=\beta } , x O y ^ = γ {\displaystyle {\widehat {xOy}}=\gamma } . Khi đó số đo góc nhị diện cạnh Ox là α ′ {\displaystyle \alpha '} được tính theo công thức:

c o s α ′ = c o s α − c o s β . c o s γ s i n β . s i n γ {\displaystyle cos\alpha '={\frac {cos\alpha -cos\beta .cos\gamma }{sin\beta .sin\gamma }}}

Chứng minh: Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy 3 điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = 1. Khi đó O A → = i → , O B → = j → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {i}},{\overrightarrow {OB}}={\vec {j}}} và O C → = k → {\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\vec {k}}}  là ba vectơ đơn vị trên các trục đã cho.

Kẻ các đường cao BH, CK của hai tam giác OAB, OAC. Ta có:

j → . k → = c o s α {\displaystyle {\vec {j}}.{\vec {k}}=cos\alpha } ,  i → . k → = c o s β {\displaystyle {\vec {i}}.{\vec {k}}=cos\beta } , i → . j → = c o s γ {\displaystyle {\vec {i}}.{\vec {j}}=cos\gamma }

c o s β = O K ¯ {\displaystyle cos\beta ={\overline {OK}}} , c o s γ = O H ¯ {\displaystyle cos\gamma ={\overline {OH}}} , s i n β = C K {\displaystyle sin\beta =CK} , s i n γ = B H {\displaystyle sin\gamma =BH}

Từ đó suy ra:

H B → = O B → − O H → = j → − O H ¯ . i → = j → − c o s γ . i → {\displaystyle {\overrightarrow {HB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OH}}={\vec {j}}-{\overline {OH}}.{\vec {i}}={\vec {j}}-cos\gamma .{\vec {i}}}

K C → = O C → − O K → = k → − O K ¯ . i → = k → − c o s β . i → {\displaystyle {\overrightarrow {KC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OK}}={\vec {k}}-{\overline {OK}}.{\vec {i}}={\vec {k}}-cos\beta .{\vec {i}}}

Vậy:

c o s α ′ = H B → . K C → B H . C K = ( j → − c o s γ . i → ) ( k → − c o s β . i → ) s i n β . s i n γ = c o s α − c o s β . c o s γ s i n β . s i n γ {\displaystyle cos\alpha '={\frac {{\overrightarrow {HB}}.{\overrightarrow {KC}}}{BH.CK}}={\frac {({\vec {j}}-cos\gamma .{\vec {i}})({\vec {k}}-cos\beta .{\vec {i}})}{sin\beta .sin\gamma }}={\frac {cos\alpha -cos\beta .cos\gamma }{sin\beta .sin\gamma }}}