Số quay
Trong toán học, số quay là một bất biến gắn với một phép đồng phôi của đường tròn.
Định nghĩa
Giả sử f: S 1 → S 1 là một phép đồng phôi bảo toàn định hướng của đường tròn S1=R/Z. Thế thì f có thể được nâng lên thành một phép đồng phôi duy nhất F:R→R của đường thẳng thực, thỏa mãn
với mọi số thực x và mọi số nguyên m.
Số quay của f được xác định bởi:
Henri Poincaré đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại và độc lập với sự lựa chọn điểm bắt đầu x. Số quay là một phần tử của R/Z. Một cách trực quan, nó đo góc quay trung bình dọc theo quỹ đạo của f.
Ví dụ
Nếu f là một phép quay với góc 2πθ (trong đó 0≤θ <1), thì
do đó số quay của f là θ.
Tính chất
Số quay là bất biến dưới liên hợp tôpô: nếu f và g là hai phép đồng phôi của đường tròn và
với một ánh xạ liên tục đơn điệu h từ đường tròn vào chính nó (không nhất thiết là đồng phôi) thì f và g có cùng số quay.
Số quay được Poincaré và Arnaud Denjoy sử dụng để phân loại các phép đồng phôi của đường tròn. Có hai khả năng:
- Số quay f là số hữu tỷ p/q (phân số tối giản). Khi đó f có quỹ đạo tuần hoàn, mọi quỹ đạo đều có chu kỳ q.
- Số quay của f là một số vô tỷ θ. Thế thì f không có quỹ đạo tuần hoàn. Có hai trường hợp con:
- Có một quỹ đạo trù mật.
- Tồn tại một tập hợp Cantor C bất biến dưới tác động của f.
Số quay là một ánh xạ liên tục từ nhóm các phép đồng phôi (với tô pô ) của đường tròn vào đường tròn.
Tham khảo
- M.R. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publ. Math. IHES, 49 (1979) pp. 5–234
- Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem (2001)
Liên kết ngoài
- Michał Misiurewicz (ed.). "Rotation theory". Scholarpedia
- Weisstein, Eric W. "Map Winding number" Từ MathWorld - Tài nguyên web Wolfram