68–95–99.7法則

正態分佈下，和平均值偏離一個標準差以內的數據會佔68.27%，偏離二個標準差以內的數據會到95.45%，偏離三個標準差以內的數據會到99.73%。
x軸為標準分數，y軸是比標準分數接近平均值之內的比例。y軸是對數長度

在統計上，68–95–99.7法則（68–95–99.7 rule）是在正態分佈中，距平均值小於一個標準差、二個標準差、三個標準差以內的百分比，更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示，其算式如下，其中X為常態分布隨機變數的觀測值，μ為分佈的平均值，而σ為標準差：

Pr ( μ − 1 σ ≤ X ≤ μ + 1 σ ) ≈ 0.682689492137086 Pr ( μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ ) ≈ 0.954499736103642 Pr ( μ − 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ ) ≈ 0.997300203936740 {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.682689492137086\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.954499736103642\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.997300203936740\end{aligned}}}

在實驗科學中有對應正態分佈的三西格馬法則（three-sigma rule of thumb），是一個簡單的推論，內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內，也就是在實驗上可以將99.7%的機率視為「幾乎一定」[1]。不過上述推論是否有效，會視探討領域中「顯著」的定義而定，在不同領域，「顯著」（significant）的定義也隨著不同，例如在社會科學中，若置信区间是在正負二個標準差（95%）的範圍，即可視為顯著。但是在粒子物理中，若是發現（英语：Discovery (observation)）新的粒子，置信区间要到正負五個標準差（99.99994%）的程度。

在不是正態分佈的情形下，也有另一個對應的三西格馬法則（three-sigma rule），即使是在非正態分佈的情形下，至少會有88.8%的機率會在正負三個標準差的範圍內，這是依照切比雪夫不等式的結果。若是單模分佈（unimodal distributions）下，正負三個標準差內的機率至少有95%，若一些符合特定條件的分佈，機率至少會到98%[2] 。

數值表

由于正态分布含有指数项的特性，超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次，则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表：

範圍 預期的样本比例在範圍內 近似預期頻率超出範圍 近似頻率（假设每天实验一次）
μ ± 0.5σ 0.382924922548026 3次中发生2次 每星期四至五次
μ ± σ 0.682689492137086[3] 3次中发生1次 每星期兩次
μ ± 1.5σ 0.866385597462284 7次中发生1次 每星期
μ ± 2σ 0.954499736103642[4] 22次中发生1次 每三個星期
μ ± 2.5σ 0.987580669348448 81次中发生1次 每三个月
μ ± 3σ 0.997300203936740[5] 370次中发生1次 每年
μ ± 3.5σ 0.999534741841929 2 149次中发生1次 每六年
μ ± 4σ 0.999936657516334 15 787次中发生1次 每43 年（约一生两次）
μ ± 4.5σ 0.999993204653751 7005147160000000000♠147160次中发生1次 每403 年（近代以来仅1次）
μ ± 5σ 0.999999426696856 7006174427800000000♠1744278次中发生1次 每7003477600000000000♠4776年（人类记录历史以来仅1次）
μ ± 5.5σ 0.999999962020875 7007263302540000000♠26330254次中发生1次 每7004720900000000000♠72090年（智人出现以来仅4次）
μ ± 6σ 0.999999998026825 7008506797346000000♠506797346次中发生1次 每138萬年（直立人出现以来仅1-2次）
μ ± 6.5σ 0.999999999919680 7010124501973930000♠12450197393次中发生1次 每3400萬年（恐龙灭绝以来仅2次）
μ ± 7σ 0.999999999997440 7011390682215445000♠390682215445次中发生1次 每10.7億年（地球诞生以来仅4次）
μ ± xσ erf ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)} 1 1 − erf ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}} 次中发生1次 每 1 1 − erf ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}} 天

参考文献

  1. ^ 「三西格馬法則」的用法大約是在公元2000年代時出現，有刊載在Schaum's Outline of Business Statistics. McGraw Hill Professional. 2003: 359 及Grafarend, Erik W. Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Mixed Models. Walter de Gruyter. 2006: 553. 上
  2. ^ See:
    • Wheeler, D. J.; Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press. 1992. 
    • Czitrom, Veronica; Spagon, Patrick D. Statistical Case Studies for Industrial Process Improvement. SIAM. 1997: 342. 
    • Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule. American Statistician. 1994, 48: 88–91. 
  3. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A178647. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  4. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A110894. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  5. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A270712. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

参见

  • 统计学主题
  • 查
  • 论
  • 编
概率分布（列表（英语：List of probability distributions））
離散單變量
有限支集
無限支集
  • beta negative binomial（英语：beta negative binomial distribution）
  • Borel（英语：Borel distribution）
  • Conway–Maxwell–Poisson（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution）
  • discrete phase-type（英语：Discrete phase-type distribution）
  • Delaporte（英语：Delaporte distribution）
  • extended negative binomial（英语：extended negative binomial distribution）
  • Flory–Schulz（英语：Flory–Schulz distribution）
  • Gauss–Kuzmin（英语：Gauss–Kuzmin distribution）
  • 幾何分佈
  • 对数分布
  • mixed Poisson（英语：mixed Poisson distribution）
  • 负二项分布
  • Panjer（英语：(a,b,0) class of distributions）
  • parabolic fractal（英语：parabolic fractal distribution）
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  • Yule–Simon（英语：Yule–Simon distribution）
  • zeta（英语：zeta distribution）
連續單變量
紧支集
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  • ARGUS（英语：ARGUS distribution）
  • Balding–Nichols（英语：Balding–Nichols model）
  • Bates（英语：Bates distribution）
  • Β分布
  • beta rectangular（英语：Beta rectangular distribution）
  • continuous Bernoulli（英语：Continuous Bernoulli distribution）
  • 歐文–賀爾分佈
  • Kumaraswamy（英语：Kumaraswamy distribution）
  • logit-normal（英语：Logit-normal distribution）
  • noncentral beta（英语：Noncentral beta distribution）
  • PERT（英语：PERT distribution）
  • raised cosine（英语：Raised cosine distribution）
  • reciprocal（英语：Reciprocal distribution）
  • 三角形分布
  • U-quadratic（英语：U-quadratic distribution）
  • 連續型均勻分布
  • 維格納半圓分布
半無限區間支集
  • Benini（英语：Benini distribution）
  • Benktander 1st kind（英语：Benktander type I distribution）
  • Benktander 2nd kind（英语：Benktander type II distribution）
  • beta prime（英语：Beta prime distribution）
  • Burr（英语：Burr distribution）
  • chi（英语：chi distribution）
  • 卡方分佈
    • noncentral（英语：Noncentral chi-squared distribution）
    • inverse（英语：Inverse-chi-squared distribution）
      • scaled（英语：Scaled inverse chi-squared distribution）
  • Dagum（英语：Dagum distribution）
  • Davis（英语：Davis distribution）
  • 爱尔朗分布
    • hyper（英语：Hyper-Erlang distribution）
  • 指数分布
    • 亚指数分布
    • logarithmic（英语：Exponential-logarithmic distribution）
  • F-分布
    • noncentral（英语：Noncentral F-distribution）
  • folded normal（英语：folded normal distribution）
  • Fréchet（英语：Fréchet distribution）
  • 伽玛分布
    • generalized（英语：Generalized gamma distribution）
    • inverse（英语：Inverse-gamma distribution）
  • gamma/Gompertz（英语：Gamma/Gompertz distribution）
  • Gompertz（英语：Gompertz distribution）
    • shifted（英语：shifted Gompertz distribution）
  • half-logistic（英语：Half-logistic distribution）
  • half-normal（英语：half-normal distribution）
  • Hotelling's T-squared（英语：Hotelling's T-squared distribution）
  • 逆高斯分布
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  • Lévy（英语：Lévy distribution）
  • log-Cauchy（英语：log-Cauchy distribution）
  • log-Laplace（英语：log-Laplace distribution）
  • log-logistic（英语：log-logistic distribution）
  • 对数正态分布
  • log-t（英语：log-t distribution）
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  • matrix-exponential（英语：matrix-exponential distribution）
  • 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
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  • Mittag-Leffler（英语：Mittag-Leffler distribution）
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  • exponential power（英语：Generalized normal distribution）
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  • Kaniadakis κ-Gaussian（英语：Kaniadakis Gaussian distribution）
  • Gaussian q（英语：Gaussian q-distribution）
  • generalized normal（英语：Generalized normal distribution）
  • generalized hyperbolic（英语：Generalised hyperbolic distribution）
  • geometric stable（英语：geometric stable distribution）
  • 耿贝尔分布
  • Holtsmark（英语：Holtsmark distribution）
  • hyperbolic secant（英语：hyperbolic secant distribution）
  • Johnson's SU（英语：Johnson's SU-distribution）
  • 朗道分布
  • 拉普拉斯分布
    • asymmetric（英语：Asymmetric Laplace distribution）
  • logistic（英语：logistic distribution）
  • noncentral t（英语：Noncentral t-distribution）
  • 正态分布
  • normal-inverse Gaussian（英语：normal-inverse Gaussian distribution）
  • skew normal（英语：Skew normal distribution）
  • slash（英语：Slash distribution）
  • 稳定分布
  • 司徒頓t分布
  • Tracy–Widom（英语：Tracy–Widom distribution）
  • variance-gamma（英语：Variance-gamma distribution）
  • 福格特函数
可变类型支集
  • generalized chi-squared（英语：Generalized chi-squared distribution）
  • generalized extreme value（英语：generalized extreme value distribution）
  • generalized Pareto（英语：Generalized Pareto distribution）
  • Marchenko–Pastur（英语：Marchenko–Pastur distribution）
  • Kaniadakis κ-exponential（英语：Kaniadakis Exponential distribution）
  • Kaniadakis κ-Gamma（英语：Kaniadakis Gamma distribution）
  • Kaniadakis κ-Weibull（英语：Kaniadakis Weibull distribution）
  • Kaniadakis κ-Logistic（英语：Kaniadakis Logistic distribution）
  • Kaniadakis κ-Erlangl（英语：Kaniadakis Erlang distribution）
  • q-exponential（英语：q-exponential distribution）
  • q-Gaussian（英语：q-Gaussian distribution）
  • q-Weibull（英语：q-Weibull distribution）
  • shifted log-logistic（英语：Shifted log-logistic distribution）
  • Tukey lambda（英语：Tukey lambda distribution）
混合單變量
連續離散
  • 修正高斯分佈（英语：Rectified Gaussian distribution）
联合分布
  • Discrete:
  • Ewens（英语：Ewens's sampling formula）
  • multinomial（英语：multinomial distribution）
    • Dirichlet（英语：Dirichlet-multinomial distribution）
    • negative（英语：negative multinomial distribution）
  • Continuous:
  • 狄利克雷分布
    • generalized（英语：Generalized Dirichlet distribution）
  • multivariate Laplace（英语：Multivariate Laplace distribution）
  • 多元正态分布
  • multivariate stable（英语：Multivariate stable distribution）
  • multivariate t（英语：Multivariate t-distribution）
  • normal-gamma（英语：normal-gamma distribution）
    • inverse（英语：Normal-inverse-gamma distribution）
  • 随机矩阵
  • LKJ（英语：Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution）
  • 矩阵正态分布
  • matrix t（英语：matrix t-distribution）
  • matrix gamma（英语：matrix gamma distribution）
    • inverse matrix gamma（英语：inverse matrix gamma distribution）
  • 威沙特分佈
    • normal（英语：normal-Wishart distribution）
    • 逆威沙特分佈
    • normal-inverse（英语：normal-inverse-Wishart distribution）
定向統計（英语：Directional statistics）
循環單變量定向統計（英语：Directional statistics）
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：von Mises distribution）
wrapped normal（英语：Wrapped normal distribution）
wrapped Cauchy（英语：Wrapped Cauchy distribution）
wrapped exponential（英语：Wrapped exponential distribution）
wrapped asymmetric Laplace（英语：Wrapped asymmetric Laplace distribution）
wrapped Lévy（英语：Wrapped Lévy distribution）
球形雙變量
Kent（英语：Kent distribution）
環形雙變量
bivariate von Mises（英语：bivariate von Mises distribution）
多變量
von Mises–Fisher（英语：Von Mises–Fisher distribution）
Bingham（英语：Bingham distribution）
退化分布和奇異分佈（英语：Singular distribution）
其它
  • Circular（英语：Circular distribution）
  • 复合泊松分布
  • elliptical（英语：Elliptical distribution）
  • exponential（英语：Exponential family）
  • natural exponential（英语：Natural exponential family）
  • location–scale（英语：location–scale family）
  • Maximum entropy（英语：Maximum entropy probability distribution）
  • Mixture（英语：Mixture distribution）
  • Pearson（英语：Pearson distribution）
  • Tweedie（英语：Tweedie distribution）
  • Wrapped（英语：Wrapped distribution）
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