H square

H²或H-square是數學及控制理論的用語，是指有平方范数的哈代空間，是L²空間的子集合，因此也是希尔伯特空间。特別的是，H²空間也是再生核希尔伯特空间（英语：Reproducing kernel Hilbert space）。

單位圓盤內的H²空間

一般而言，單位圓盤內L²空間的元素可以表示為

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }}$

而H²空間的元素可以表示為

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.}$

從L²空間到H²空間的映射（令n < 0時的a_n = 0）是orthogonal映射。

半平面中的H²空間

拉氏轉換 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

可以理解為以下的線性算子

${\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)}$

其中${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$為正實數線上平方可積函數的集合，且${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$為複平面的右半平面，而且拉氏轉換也是同构（因為其可逆），而且等距同构，因為滿足下式

${\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}$

拉氏轉換是「半個」傅立葉轉換，因為以下的分解

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}$

可以得到${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$正交分解成兩個哈代空間

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}$

在本質上就是培力-威納定理（英语：Paley-Wiener theorem）。

相關條目

• H_∞

參考資料

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.

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