Powerful p-群


在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在（Lubotzky & Mann 1987）引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究（Khukhro 1998），受限制的Burnside問題的解答（Vaughan-Lee 1993），以coclass猜想作出的有限p-群分類（Leedham-Green & McKay 2002），及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 （Dixon 等人 1991）。

正式定義

有限p-群 G {\displaystyle G} 稱為powerful，於 p {\displaystyle p} 為奇數時，若交換子子群 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} 包含在子群 G p = ⟨ g p | g ∈ G ⟩ {\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle } 內，而於p=2時若 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} 包含在子群 G 4 {\displaystyle G^{4}} 內。

powerful p-群的性質

powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似，所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。

powerful p-群也可用於研究pro-p群，因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群（在p-進數上為流形的群）的特性：一個有限生成pro-p群是p-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有：若 G {\displaystyle G} 是powerful p-群，則：

  • G {\displaystyle G} 的Frattini子群 Φ ( G ) {\displaystyle \Phi (G)} 有性質 Φ ( G ) = G p {\displaystyle \Phi (G)=G^{p}}
  • G p k = { g p k | g ∈ G } {\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}} 對所有 k ≥ 1. {\displaystyle k\geq 1.} 。就是以 p k {\displaystyle p^{k}} 次冪生成的群，正是 p k {\displaystyle p^{k}} 次冪的集合。
  • 對所有 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ，若 G = ⟨ g 1 , … , g d ⟩ {\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle } ，則 G p k = ⟨ g 1 p k , … , g d p k ⟩ {\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle } 。
  • 對所有 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ， G {\displaystyle G} 的下中心序列的第k位有性質 γ k ( G ) ≤ G p k − 1 {\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}} 。
  • powerful p-群的每個商群都powerful。
  • G {\displaystyle G} 的Prüfer秩等於 G {\displaystyle G} 的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若 G {\displaystyle G} 是powerful p-群，則

  • G p k {\displaystyle G^{p^{k}}} 是powerful。
  • G {\displaystyle G} 的子群不一定是powerful。

參考

  • Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
  • Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR1152800 
  • Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR1615819 
  • Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951 
  • Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR0873681 
  • Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR1364414