Continuació analítica maximal

La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui ${\displaystyle \mathbb {S} }$ l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert ${\displaystyle \ \Omega \subset \mathbb {S} }$ és un parell ${\displaystyle \ \left(R,p\right)}$ on ${\displaystyle R}$ és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i ${\displaystyle p:R\rightarrow \Omega }$ és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {S} }$ tal que ${\displaystyle U\subset \pi (S)}$, en una immersió holomorfa ${\displaystyle j\,\colon \,U\rightarrow S}$ tal que ${\displaystyle \pi \circ j=id\vert _{U}}$ i en una funció holomorfa ${\displaystyle F\,\colon \,S\rightarrow \mathbb {S} }$ tal que ${\displaystyle F\circ j=f}$.

Un morfisme entre dues continuacions analítiques ${\displaystyle \left(S,\pi ,j,F\right)}$ i ${\displaystyle \left(T,\varrho ,\ell ,G\right)}$ del mateix element ${\displaystyle \left(U,f\right)}$ és una funció holomorfa ${\displaystyle h\,\colon \,T\rightarrow S}$ tal que ${\displaystyle h\circ \ell =j}$.

Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en ${\displaystyle j(U)}$, (i per tant en tot ${\displaystyle S}$) mitjançant ${\displaystyle \ell \circ j^{-1}}$. A més, ${\displaystyle \varrho \circ h=\pi }$ i ${\displaystyle G\circ h=F}$ en ${\displaystyle j(U)}$ i per tant en tot ${\displaystyle S}$.

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica ${\displaystyle S}$ de l'element ${\displaystyle \left(U,f\right)}$ és maximal si, per a cada continuació ${\displaystyle {\widehat {S}}}$ de ${\displaystyle \left(U,f\right)}$ existeix un morfisme ${\displaystyle h\,\colon \,S\rightarrow {\widehat {S}}}$.

És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element ${\displaystyle \left(U,f\right)}$ de funció holomorfa té una continuació analítica maximal ${\displaystyle Q:=\left(S,\pi ,j,F\right)}$.

Demostració: siguin #${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\left(U_{i},f_{i}\right)\}_{i\in I}}$ el conjunt format mitjançant els elements connectables amb ${\displaystyle \left(U,f\right)}$; #${\displaystyle S_{0}=\coprod _{i\in I}U_{i}}$, ${\displaystyle \pi _{0}=\coprod _{i\in I}id\vert _{U_{i}}}$ i ${\displaystyle F_{0}=\coprod _{i\in I}f_{i}}$; #${\displaystyle j_{0}\,\colon \,U\longrightarrow S_{0}}$ la immersió natural.

Introduïm una relació d'equivalència en ${\displaystyle S_{0}}$: ${\displaystyle z_{1}\in U_{i_{1}}}$ i ${\displaystyle z_{2}\in U_{i_{2}}}$ es diran equivalents si ${\displaystyle \pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})}$ i ${\displaystyle f_{i_{1}}=f_{i_{2}}}$ en un entorn de ${\displaystyle \pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})}$ en ${\displaystyle U_{i_{1}}\cap U_{i_{2}}}$.

Sigui ${\displaystyle S}$ el conjunt quocient i ${\displaystyle q\,\colon \,S_{0}\longrightarrow S}$ la projecció canònica: una base per a la topologia d'${\displaystyle S}$ està formada pels ${\displaystyle [U_{i}]:=\{q\left(U_{i}\right)\}}$. Definim ${\displaystyle j\,\colon \,U\longrightarrow S}$, ${\displaystyle \pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}}$, ${\displaystyle F\,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}}$ mitjançant ${\displaystyle j=q\circ j_{0}}$, ${\displaystyle \pi \left(q(z)\right)=\pi _{0}(z)}$ i ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)=f_{i}\left(z_{i}\right)}$.

Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, ${\displaystyle \pi }$ és un homeomorfisme local.

L'espai topològic ${\displaystyle S}$ és Hausdorff: de fet, si ${\displaystyle q\left(z_{i}\right)\not =q\left(z_{j}\right)}$ i ${\displaystyle \pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)}$, considerem un entorn connex ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle \pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)}$, tal que ${\displaystyle f_{i}}$ i ${\displaystyle f_{j}}$ estiguin definits i siguin diferents en ${\displaystyle V}$. Siguin ${\displaystyle V_{i}}$ i ${\displaystyle V_{j}}$ les còpies disjuntes de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle U_{i}}$ i de ${\displaystyle U_{j}}$ en ${\displaystyle S_{0}}$: es veu que ${\displaystyle {q\left(V_{i}\right)\cap q\left(V_{j}\right)=\emptyset }}$. De fet, si hi hagués dos punts ${\displaystyle w_{i}\in V_{i}}$ i ${\displaystyle w_{j}\in V_{j}}$ tals que ${\displaystyle {q\left(w_{i}\right)=q\left(w_{j}\right)}}$, hi hauria també ${\displaystyle {f_{i}=f_{j}}}$ en un entorn de ${\displaystyle {\pi _{0}\left(w_{i}\right)=\pi _{0}\left(w_{j}\right)}}$, ja que en ${\displaystyle V}$, això és una contradicció.

L'espai ${\displaystyle S}$ és connex, perquè per a tot parell de punts ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ amb ${\displaystyle p_{1}\in [U^{\prime }]}$ i ${\displaystyle p_{2}\in [U^{\prime \prime }]}$, existeix una cadena ${\displaystyle {{\mathcal {K}}=\{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots ,U_{i_{n}}\}}}$ de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot ${\displaystyle k=0,....,n-1}$, ${\displaystyle U_{i_{k}}\cap U_{i_{k+1}}\not =\emptyset }$, i tals que ${\displaystyle U_{i_{0}}=U^{\prime }}$ i ${\displaystyle U_{i_{n}}=U^{\prime \prime }}$. Per tant el conjunt obert ${\displaystyle {[U_{i_{0}}]\cup \cdots \cup [U_{i_{n}}]}}$ és connex i conté ${\displaystyle p_{1}}$ i ${\displaystyle p_{2}}$.

Puix que ${\displaystyle q}$ és un homeomorfisme local entre ${\displaystyle U_{i}}$ i ${\displaystyle q\left(U_{i}\right)}$, l'espai ${\displaystyle S}$ és connex; però també ${\displaystyle \pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} }$ és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també ${\displaystyle S}$ és de base numerable.

L'atles ${\displaystyle {\left\{\left([U_{i}],\pi \vert _{[U_{i}]}\right)\right\}_{i\in I}}}$ defineix una estructura complexa en ${\displaystyle S}$, perquè per a tot parell ${\displaystyle [U_{i}],[U_{j}]}$ de mapes locals que se superposen, l'aplicació de transició ${\displaystyle {\pi \vert _{j}\circ \pi \vert _{i}^{-1}}}$ és la identitat d'un conjunt obert de ${\displaystyle {U_{i}\cap U_{j}}}$.

Per a aquesta estructura, les aplicacions ${\displaystyle \pi ,\ j,\ F}$ són holomorfes per construcció, ja que ${\displaystyle {\left(S,\pi ,\ j,\ F\right)}}$ és una continuació analítica de ${\displaystyle \left(U,f\right)}$.

Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui ${\displaystyle {\left(T,\varrho ,\ell ,G\right)}}$ una continuació analítica de ${\displaystyle \left(U,f\right)}$: podem construir un recobriment obert de ${\displaystyle R}$ mitjançant uns ${\displaystyle \{V_{i}\}}$ tals que, per a tot ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \varrho \vert _{\{V_{i}\}}}$ és biholomorfa; llavors el parell ${\displaystyle {\left(\varrho (V_{i}),G\circ \varrho \vert _{V_{i}}^{-1}\right)}}$ és un element de funció holomorfa connectable amb ${\displaystyle \left(U,f\right)}$.

Definim ${\displaystyle {h_{i}:V_{i}\longrightarrow S}}$ mitjançant ${\displaystyle {h_{i}=q\circ \varrho \vert _{V_{i}}}}$: si ${\displaystyle V_{i}\cup V_{j}\not =\emptyset }$, ${\displaystyle h_{i}=h_{j}}$ en ${\displaystyle V_{i}\cup V_{j}}$, per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa ${\displaystyle h:T\rightarrow S}$ tal que ${\displaystyle h\circ \ell =j}$.

Vegeu també

• Continuació analítica

Referències

Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago