Nombre perfecte

Un nombre perfecte és un enter que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3.^[1] Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.

Els nombres perfectes estan relacionats amb els nombres primers de Mersenne: si M és un primer de Mersenne (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores M(M+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per Euclides^[2] en el segle IV abans de la nostra era:

per a n = 2: 2¹(2² − 1) = 6

per a n = 3: 2²(2³ − 1) = 28

per a n = 5: 2⁴(2⁵ − 1) = 496

per a n = 7: 2⁶(2⁷ − 1) = 8128

A més, Euler va demostrar en el segle xviii que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma.^[2] També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.

No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si hi ha un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre d'altres, les condicions següents: ser major que 10³⁰⁰; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 10⁷, dos d'aquests han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).

Considerant la suma dels divisors propis, hi ha altres tipus de nombres.

• Nombres deficients: la suma dels divisors propis és menor que dues vegades el nombre.
• Nombres abundants: la suma és major que dues vegades el nombre.
• Nombres amics: a i b són tals que a és la suma dels divisors de b i viceversa.
• Nombres sociables: com els amics, però amb un cicle major de nombres.

Implementació en informàtica

En C++ es pot escriure un codi com el que segueix per tal de trobar si un nombre és perfecte. El mètode mostrat és el més eficient, amb cost ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$.

bool es_perfecte (int n) {
 int sum=1;
 for (int compt=2; compt*compt<=n; ++compt) {
 if (compt*compt==n) sum=sum+compt;
 else if (n%compt==0) {
 sum=sum+compt;
 sum = sum + n/compt;
 }
 }
 if (sum==n and n!=0 and n!=1) return true; 
 else return false;
}

En Java:

public static boolean perfecte(int n) {
    return divisors(n)==n && n!=0;
}

public static int divisors(int n) {
    int suma = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (n%i == 0) suma += i;
    }
    return suma;
}

En Python:

def perfecte(n):
    return divisors(n) == n

def divisors(n):
    suma = 0
    for i in range(1, n):
        if n%i == 0: suma += i
    return suma

Referències