Application bilinéaire

En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall (x,x')\in E^{2},\forall (y,y')\in F^{2},\forall \lambda \in K,\qquad \left\{{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\\varphi (\lambda x,y)=\varphi (x,\lambda y)=\lambda \varphi (x,y).\end{matrix}}\right.}$

Si G = K, on parle de forme bilinéaire.

Exemple

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

${\textstyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\forall (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2},(x\mid \lambda y+\mu z)=\lambda (x\mid y)+\mu (x\mid z)}$.

Généralisation

Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité :

${\displaystyle \forall (a,b,g)\in A\times B\times G,(ag)b=a(gb)}$.

Soit alors φ : E×F → G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par :

${\displaystyle \forall (x,x')\in E^{2},\forall (y,y')\in F^{2},\forall (a,b)\in A\times B,\qquad \left\{{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\\varphi (ax,y)=a\varphi (x,y)\\\varphi (x,yb)=\varphi (x,y)b.\end{matrix}}\right.}$

Ceci est bien entendu valide lorsque A = B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

Exemples

Sur un espace vectoriel, les produits scalaires et produits vectoriels sont des applications bilinéaires.

Bibliographie

N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 9 : Formes Sesquilinéaires et formes quadratiques, Springer, 2006, 208 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, lire en ligne)

v · m Algèbre bilinéaire

Espace euclidien Espace hermitien Forme bilinéaire Forme quadratique Forme sesquilinéaire Orthogonalité Base orthonormale Projection orthogonale Inégalité de Cauchy-Schwarz Inégalité de Minkowski Matrice autoadjointe positive Matrice définie positive Décomposition QR Déterminant de Gram Espace de Hilbert Base de Hilbert Théorème spectral Théorème de Stampacchia Théorème de Lax-Milgram Théorème de représentation de Riesz

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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