Fonction zêta de Hurwitz

Fonction zêta de Hurwitz

En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.

Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 :

ζ ( s , q ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + q ) − s {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}} .

Par prolongement analytique, ζ ( ⋅ , q ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,q)} s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1.

ζ ( ⋅ , 1 ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,1)} est la fonction zêta de Riemann.

Représentation intégrale

ζ ( s , q ) = 1 Γ ⁡ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t q 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\operatorname {e} ^{-tq}}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t} ,

où Γ désigne la fonction Gamma[1].

Prolongement analytique

La fonction ζ ( ⋅ , q ) {\displaystyle \zeta (\cdot ,q)} s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1[2].

Développement de Laurent

Son développement de Laurent en ce pôle est

ζ ( s , q ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( q ) ( s − 1 ) n {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)(s-1)^{n}}

où les coefficients

γ n ( q ) = lim N → ∞ { ( ∑ k = 0 N ln n ⁡ ( k + q ) k + q ) − ln n + 1 ⁡ ( N + q ) n + 1 } , n ∈ N {\displaystyle \gamma _{n}(q)=\lim _{N\to \infty }\left\{\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\ln ^{n}(k+q)}{k+q}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right\},\qquad n\in \mathbb {N} } [3]

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles γ n ( 1 ) {\displaystyle \gamma _{n}(1)} correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[4] :

γ n ( q ) = ( 1 2 q − ln ⁡ q n + 1 ) ln n ⁡ q − i ∫ 0 ∞ d x e 2 π x − 1 { ln n ⁡ ( q − i x ) q − i x − ln n ⁡ ( q + i x ) q + i x } {\displaystyle \gamma _{n}(q)=\left({\frac {1}{2q}}-{\frac {\ln q}{n+1}}\right)\ln ^{n}q-\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {e} ^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {\ln ^{n}(q-\mathrm {i} x)}{q-\mathrm {i} x}}-{\frac {\ln ^{n}(q+\mathrm {i} x)}{q+\mathrm {i} x}}\right\}} .

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[4] :

γ 0 ( q ) = − ψ ( q ) = − Γ ′ ( q ) Γ ( q ) {\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)=-{\frac {\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}} .

Formule de Hurwitz

La formule de Hurwitz[3],[5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :

ζ ( 1 − s , q ) = Γ ( s ) ( 2 π ) s [ e − i π s / 2 F ( q , s ) + e i π s / 2 F ( − q , s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,q)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left[{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi s/2}F(q,s)+{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi s/2}F(-q,s)\right]}

où

F ( q , s ) := ∑ k = 1 ∞ exp ⁡ ( 2 π i k q ) k s = Li s ( e 2 π i q ) {\displaystyle F(q,s):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi {\rm {i}}kq)}{k^{s}}}={\mbox{Li}}_{s}({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}q})} ,

Lis étant la fonction polylogarithme.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers 1 ≤ m ≤ n , {\displaystyle 1\leq m\leq n,}

ζ ( 1 − s , m n ) = 2 Γ ( s ) ( 2 π n ) s ∑ k = 1 n cos ⁡ ( π s 2 − 2 π k m n ) ζ ( s , k n ) {\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)}

reste valable pour toutes les valeurs de s.

Développement en série de Taylor

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q)} .

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)} .

Transformation de Fourier

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Lien avec d'autres fonctions spéciales

Relation avec les polynômes de Bernoulli

Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} et n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} ) :

B n ( x ) = − n Γ ( n ) ( 2 π ) n ( ( − i ) n F ( x , n ) + i n F ( − x , n ) ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n{\frac {\Gamma (n)}{(2\pi )^{n}}}\left((-\mathrm {i} )^{n}F(x,n)+\mathrm {i} ^{n}F(-x,n)\right)} ,

la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) :

ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}} [6].

Relation avec les fonctions L de Dirichlet

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q) où q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.

Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :

L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = 1 Q s ∑ k = 1 Q χ ( k ) ζ ( s , k Q ) {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{Q^{s}}}\sum _{k=1}^{Q}\chi (k)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)} .

Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible k / Q ∈ ] 0 , 1 ] {\displaystyle k/Q\in \left]0,1\right]}  :

ζ ( s , k Q ) = Q s φ ( Q ) ∑ χ χ ¯ ( k ) L ( s , χ ) {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {k}{Q}}\right)={\frac {Q^{s}}{\varphi (Q)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(k)L(s,\chi )} ,

la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.

Relation avec la fonction polygamma

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)} .

Relation avec la fonction transcendante de Lerch

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}

et ainsi

ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)} .

Relation avec la fonction thêta de Jacobi

Si ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} est la fonction thêta de Jacobi, alors

∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}

reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.

Pour z = n un entier, ceci se simplifie en

∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2   π − ( 1 − s ) / 2   Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2   π − s / 2   Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {{\rm {d}}t}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0.

Applications

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Hurwitz zeta function » (voir la liste des auteurs) et « Stieltjes constants » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. ↑ Voir par exemple Apostol 1976, p. 255, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  3. ↑ a et b (en) Bruce C. Berndt, « On the Hurwitz zeta-function », Rocky Mountain J. Math., vol. 2, no 1,‎ , p. 151-158 (lire en ligne).
  4. ↑ a et b (en) Iaroslav V. Blagouchine, « A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations », J. Number Theory, vol. 148,‎ , p. 537-592 (arXiv 1401.3724) .
  5. ↑ Apostol 1976, p. 257-259.
  6. ↑ Voir par exemple Apostol 1976, p. 264, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

Article connexe

Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

Bibliographie

  • (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (lire en ligne), chap. 12
  • (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.4.10
  • (en) Djurdje Cvijovic et Jacek Klinowski, « Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments », Math. Comp., vol. 68,‎ , p. 1623-1630 (lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Hurwitz Zeta Function », sur MathWorld

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