Normális eloszlás

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha
  m = 0 és σ² = 0,2
  m = 0 és σ² = 1 (standard normális eloszlás)
  m = 0 és σ² = 5
  m = –2 és σ² = 0,5

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f ( x ) = 1 σ 2 π ⋅ e − ( x − m ) 2 2 σ 2 , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}

ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

X ∼ N ( m , σ 2 ) . {\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2}).}

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények

Eloszlás függvénye

F ( x ) = ∫ − ∞ x 1 σ 2 π ⋅ e − ( t − m ) 2 2 σ 2 d t ( = ∫ − ∞ x f ( t ) d t ) {\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(t-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\left(=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt\right)}

Karakterisztikus függvénye

φ ( t ) = e i t m − σ 2 t 2 2 {\displaystyle \varphi (t)=e^{itm-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}

Sűrűségfüggvényének tulajdonságai

  • Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
  • Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
  • ( ∀ x ∈ R ) f ( x ) > 0 {\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} )f(x)>0}
  • lim x → − ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}
  • lim x → ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
  • ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}
  • Folytonos függvény.

A normális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

E ( X ) = m {\displaystyle \mathbf {E} (X)=m}

Szórása

D ( X ) = σ {\displaystyle \mathbf {D} (X)=\sigma }

Momentumai

E ( X p ) = { 0 ha  p  páratlan, σ p ( p − 1 ) ! ! ha  p  páros. {\displaystyle \mathrm {E} \left(X^{p}\right)={\begin{cases}0&{\text{ha }}p{\text{ páratlan,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{ha }}p{\text{ páros.}}\end{cases}}}

Abszolút momentumai

E ⁡ ( | X | p ) = σ p ( p − 1 ) ! ! ⋅ { 2 π ha  p  páratlan 1 ha  p  páros } = σ p ⋅ 2 p 2 Γ ( p + 1 2 ) π {\displaystyle \operatorname {E} \left(|X|^{p}\right)=\sigma ^{p}\,(p-1)!!\cdot \left.{\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{ha }}p{\text{ páratlan}}\\1&{\text{ha }}p{\text{ páros}}\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}}

Ferdesége

β 1 ( X ) = 0 {\displaystyle \beta _{1}(X)=0\,}

Lapultsága

β 2 ( X ) = 0 {\displaystyle \beta _{2}(X)=0\,}

Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

  • Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
    Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (X–m)/σ ~ N(0, 1).
  • Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X1 ~ N(m1, σ1²) és X2 ~ N(m2, σ2²) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2 ~ N(m1 + m2, σ1² + σ2²).
  • Fordítva: ha X1 és X2 független valószínűségi változó, és X1 + X2 normális eloszlású, akkor X1 is és X2 is normális eloszlású.

Megjelenése máshol

A korábbi 10 márkás bankjegy Gauss portréjával

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható.[1] Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.

Jegyzetek

  1. ↑ The Gaussian Distribution. The National Curve Bank. (Hozzáférés: 2022. január 26.)

Források

  • Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
  • Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) ISBN 963-16-3036-6

További információk

Commons:Category:Normal distribution
A Wikimédia Commons tartalmaz Normális eloszlás témájú médiaállományokat.
  • A standard normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének táblázata
  • Interaktív Java szimuláció a normális (és további 10 folytonos) eloszlás tanulmányozásához. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
  • Interaktív Java szimuláció kockadobásokról 1-30 kockával. A pontösszegek hisztogramjai a centrális határeloszlás-tételt szemléltetik. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
  • Interaktív Flash szimuláció a Galton-deszkáról. A centrális határeloszlás-tételt szemlélteti kétkimenetelű kísérletekkel. Szerző: Duncan Keith
  • Interaktív Java szimuláció a kétdimenziós normális eloszlásról. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring
  • Interaktív Flash szimuláció a standard normális eloszlásértékekről (magyarított). Szerző: Jim Reed
  • Online kalkulátor Normális eloszlás. Szerző: René Vápeník

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap