Ukuran (matematika)

Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.

Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory and Alfred Haar. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.

Misalkan ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ adalah suatu ruang terukur, dengan ${\displaystyle X}$ suatu himpunan dan ${\displaystyle \Sigma }$ suatu aljabar σ pada ${\displaystyle X}$. Fungsi ${\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]}$ disebut sebagai ukuran pada ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, jika memenuhi sifat-sifat:

• Non-negatif: tiada himpunan yang berukuran negatif:

${\displaystyle \mu (A)\geq 0}$

untuk semua ${\displaystyle A\in \Sigma }$;

• Himpunan kosong berukuran nol:

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0;}$

• Aditivitas terhitung atau aditivitas-σ: jika ${\displaystyle A_{1}\,}$, ${\displaystyle A_{2}\,}$, ${\displaystyle A_{3}\,}$, ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam ${\displaystyle \Sigma }$, maka

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$

Anggota dari ${\displaystyle \Sigma }$ disebut himpunan terukur, dan ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ disebut ruang ukuran.

Ukuran Lebesgue di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ suatu perumuman dari panjang. Panjang interval ${\displaystyle I=[a,b],[a,b),(a,b]}$ atau ${\displaystyle (a,b)}$ didefinisikan ${\displaystyle |I|=b-a}$. Sekarang misalkan ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ suatu himpunan bagian. Keluarga interval ${\displaystyle (I_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ dikatakan meliputi ${\displaystyle A}$ apabila ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }I_{i}}$. Ukuran luar ${\displaystyle A}$ didefinisikan sebagai

${\displaystyle m^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }|I_{i}|:(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\mbox{ meliputi }}A\right\}.}$

Tepatnya, ${\displaystyle m^{\ast }}$ yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian ${\displaystyle A}$ dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon >0}$ terdapat himpunan tertutup ${\displaystyle F\subseteq A}$ dan himpunan terbuka ${\displaystyle G\supseteq A}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle m^{\ast }(G\setminus F)<\varepsilon }$. Sekarang misalkan ${\displaystyle \Sigma }$ adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, ${\displaystyle \Sigma }$ aljabar sigma dan fungsi ${\displaystyle m^{\ast }}$ yang dibatasi pada ${\displaystyle \Sigma }$ ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di ${\displaystyle \mathbb {R} }$) dan dilambangkan dengan ${\displaystyle m}$.

Misalnya ${\displaystyle X}$ suatu himpunan dan ${\displaystyle \Sigma }$ himpunan kunasa, yakni ${\displaystyle \Sigma }$ keluarga semua himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$. Jelas, ${\displaystyle \Sigma }$ aljabar sigma. Untuk ${\displaystyle A\in \Sigma }$, nilai ${\displaystyle \mu (A)}$ definisikan sebagai jumlah unsur himpunan ${\displaystyle A}$. Fungsi itu ${\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]}$ dikenal sebagai ukuran penghitungan di ${\displaystyle X}$.

Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$:

• Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{m}\in {\mathcal {A}}}$ gilt ${\displaystyle \textstyle \mu (A_{1}\cup \ldots \cup A_{m})=\sum _{n=1}^{m}\mu (A_{n})}$.
• Subtraktivitas: untuk ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ dengan ${\displaystyle B\subseteq A}$ dan ${\displaystyle \mu (B)<\infty }$ dari ${\displaystyle \mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B)}$.
• Monoton: untuk ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ dengan ${\displaystyle B\subseteq A}$ dari ${\displaystyle \mu (B)\leq \mu (A)}$.
• Untuk ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ dengan himpunan ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$. Dengan prinsip penyertaan dan pengecualian rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.
• σ-subadditivitas: Untuk sembarang urutan ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dari himpunan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dengan ${\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$.

Sifat kontinuitas berikut adalah fundamental untuk memperkirakan set terukur dengan σ-aditif.

• σ-kontinuitas bawah: adalah ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dotsb }$ urutan himpunan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dan ${\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$, kemudian ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.
• σ-kontinuitas atas: Adalah ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \dotsb }$ urutan himpunan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dengan ${\displaystyle \mu (A_{1})<\infty }$ dan ${\displaystyle A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}$, kemudian ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.

Untuk dimensi ${\displaystyle \mu ,\nu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$ di ruang ukur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ sebagai berikut:

Misalkan produsen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dari ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, hal itu berlaku ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})}$ dan untuk ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}}$ ist ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {E}}}$, dengan sifat berikut:

1. Untuk ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$ dengan ${\displaystyle \mu (E)=\nu (E)}$, dengan ${\displaystyle \mu |_{\mathcal {E}}=\nu |_{\mathcal {E}}}$, dan
2. Urutan ${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dari himpunan ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dengan ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=\Omega }$ dan ${\displaystyle \mu (E_{n})=\nu (E_{n})<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Kemudian ${\displaystyle \mu =\nu }$.

Untuk dimensi dengan ${\displaystyle \mu (\Omega )=\nu (\Omega )}$ kondisi 2 otomatis. Secara khusus, dua ukuran probabilitas adalah sama jika keduanya generator dari rata yang stabil dari aljabar.

Teorema keunikan memberikan, misalnya, keunikan kelanjutan dari ukuran ke ukuran dengan menggunakan ukuran luar dan teorema ekstensi ukuran oleh Carathéodory

Jika aksioma pilihan dibuktikan tidak semua himpunan bagian dari ruang Euklides adalah ukuran Lebesgue; contoh dari himpunan tersebut termasuk himpunan Vitali, dan himpunan yang tidak dapat diukur yang didalilkan oleh paradoks Hausdorff dan paradoks Banach-Tarski.

Untuk tujuan tertentu, "ukuran" yang nilainya tidak terbatas pada riil non-negatif atau tak terhingga. Misalnya, aditif terhitung fungsi set dengan nilai dalam bilangan real (bertanda) disebut ukuran tanda, sedangkan fungsi seperti itu dengan nilai-nilai dalam bilangan kompleks disebut ukuran kompleks. Pengukuran yang mengambil nilai dalam ruang Banach telah dipelajari secara ekstensif.^[1] Ukuran dari nilai dalam himpunan proyeksi self-adjoint pada ruang Hilbert disebut ukuran nilai proyeksi; digunakan dalam analisis fungsional untuk teorema spektral. Jika untuk membedakan ukuran biasa yang mengambil nilai non-negatif dari generalisasi, istilah digunakan ukuran positif. Pengukuran positif ditutup di bawah kombinasi kerucut tetapi tidak umum kombinasi linear, sedangkan pengukuran bertanda tangan adalah penutupan linier dari pengukuran positif.

Generalisasi lain adalah ukuran aditif hingga, juga dikenal sebagai isi. Ini sama dengan ukuran kecuali bahwa alih-alih membutuhkan aditifitas yang dapat dihitung, kita hanya memerlukan aditifitas yang terbatas. Secara historis, definisi ini digunakan pertama kali. Ternyata secara umum, ukuran aditif hingga terkait dengan pengertian seperti limit Banach, rangkap L^∞ dan pemadatan Stone–Čech. Terkait dalam satu atau lain cara dengan aksioma pilihan. Masalah teknis tertentu di teori ukuran geometris; ini adalah teori ukuran Banach.

Muatan adalah generalisasi di kedua arah: adalah ukuran bertanda tangan aditif hingga.