Apeirogono

Apeirogono regolare
Nº spigoli	∞
Nº vertici	∞
Notazione di Schläfli	{∞}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Duale	Autoduale
Manuale

In geometria, un apeirogono^[1] (dal greco ἄπειρος, apeiros, che significa "infinito, illimitato" e γωνία, gonia, che significa "angolo") o poligono infinito è un poligono con un numero infinito di lati, ovverosia un politopo infinito di dimensione 2.

Definizioni

Apeirogono geometrico

Secondo la definizione data da H. S. M. Coxeter, dati un punto A₀ in uno spazio euclideo e una translazione S, e sia il punto A_i il punto ottenuto dall'applicazione della traslazione S al punto A₀ per i volte, così che A_i = Sⁱ(A₀), un apeirogono regolare è il poligono che si ottiene unendo i vertici ottenuti per ogni numero intero i con segmenti di uguale lunghezza.^[2]

Un apeirogono regolare può anche essere definito come la ripartizione di una retta euclidea E¹ in infiniti segmenti di uguale lunghezza, generalizzando quindi il concetto di n-gono regolare, che può essere definito come una ripartizione del cerchio S¹ in un numero finito di segmenti di uguale lunghezza.^[3]

Pseudogono iperbolico

Considerando uno spazio iperbolico, l'analogo dell'apeirogono regolare è lo pseudogono regolare, definito come la partizione di una retta iperbolica in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}}$ in segmenti di lunghezza 2λ.^[4]

Apeirogono astratto

Com'è noto, un politopo astratto è un insieme parzialmente ordinato P (i cui elementi sono chiamati facce) che soddisfa 4 assiomi:

1. Ha almeno una faccia e una faccia di dimensione maggiore;
2. Tutte le bandiere contengono lo stesso numero di facce;
3. È fortemente connesso;
4. Se le dimensioni di due facce, a e b con a > b, differiscono di 2, ci sono esattamente due facce c e d tali che, per dimensione, a > c > b e a > d > b

Per i politopi astratti di dimensione 2, ciò significa che:

1. Gli elementi dell'insieme parzialmente ordinato sono insiemi di vertici contenenti zero vertici (insieme vuoto), un vertice, due vertici (un lato), o l'intero insieme di vertici (una faccia bidimensionale), ordinati per inclusione di insiemi;
2. Ogni vertice appartiene esattamente a due lati;
3. Il grafo non orientato formato dai vertici e dagli archi è connesso.^[5][6]

Un politopo astratto si chiama dunque apeirotopo astratto se ha infiniti elementi e un 2-apeirotopo astratto è chiamato apeirogono astratto. Dato che la realizzazione di un politopo astratto si ottiene con la mappatura dei suoi vertici in punti di uno spazio geometrico - tipicamente uno spazio euclideo - ogni apeirogono geometrico è la realizzazione di un apeirogono astratto.

Simmetrie

Il gruppo diedrale infinito G di un apeirogono geometrico regolare è generato da due riflessioni, il cui prodotto trasla ciascun vertice di P al successivo.  Tale prodotto può poi essere scomposto come il prodotto di una traslazione diversa da zero, di un numero finito di rotazioni e di una riflessione possibilmente banale.^[7][8]

In un politopo astratto, una bandiera è una raccolta contenente una faccia di ciascuna dimensione (per un poliedro P essa è ad esempio una terna (v, s, f), in cui v è un vertice - ossia una faccia di dimensione 0 - di P, s è uno spigolo - ossia una faccia di dimensione 1 - di P ed f è una faccia - in particolare una faccia di dimensione 2 - di P, tali che v < s < f)^[9] tutte incidenti tra loro, e tale politopo astratto è detto "regolare" se possiede simmetrie che portano qualsiasi bandiera su qualsiasi altra bandiera, cosa automaticamente vera nel caso di un politopo astratto bidimensionale.

La realizzazione simmetrica di un apeirogono astratto è quindi definita come la mappatura dai suoi vertici a uno spazio geometrico a dimensione finita - tipicamente uno spazio euclideo - tale che ogni simmetria dell'apeirogono astratto corrisponde a un'isometria delle immagini della mappatura.^[10][11]

Spazio dei moduli

Generalmente lo spazio dei moduli di una realizzazione fedele di un politopo astratto è un cono convesso di dimensione infinita. Il cono di realizzazione dell'apeirogono astratto ha una dimensione algebrica non delimitabile, letteralmente “infinitamente infinita”, e non può essere chiuso nella topologia euclidea .^[12][13]

Classificazione degli apeirogoni euclidei

La realizzazione simmetrica di qualsiasi poligono regolare nello spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è riducibile, nel senso che può essere realizzata come un'unione di due poligoni di dimensione inferiore. Questa caratterizzazione dei poligoni si applica anche naturalmente agli apeirogoni regolari, i quali sono il risultato della fusione dell'apeirogono unidimensionale con altri poligoni.^[8]

In due dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni sghembi infiniti^[14] risultanti dalla fusione dell'apeirogono monodimensionale con il digono, rappresentati con il simbolo di Schläfli {∞}#{2}, {∞}#{}, o ${\displaystyle \left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}}$.

In tre dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni elicoildali infiniti,^[14] aventi i vertici equamente distanziati lungo un'elica, risultanti dalla fusione di un apeirogono monodimensionale con un poligono bidimensionale, {∞}#{p/q} o ${\displaystyle \left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}}$.

Generalizzazioni

Dimensione maggiore di 2

L'analogo in 3 dimensioni dell'apeirogono prende il nome di apeiroedro,^[15] e, più in generale, un n-apeirotopo o un n-politopo infinito è l'analogo n-dimensionale di un apeirogono.^[5]

Note

Bibliografia

• Piergiorgio Odifreddi, Ritratti dell'infinito, Rizzoli Libri, 2020. URL consultato il 20 marzo 2024.
• H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, Londra, Methuen & Co. Ltd..
• Norman W. Johnson, Geometries and transformations, Cambridge University Press, 2018, ISBN 9781107103405. URL consultato il 20 marzo 2024.
• Peter McMullen e Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, 1ª ed., Cambridge University Press, dicembre 2002, ISBN 0-521-81496-0. URL consultato il 21 marzo 2024.
• Peter McMullen, Realizations of regular apeirotopes, in Aequationes Mathematicae, vol. 47, n. 2-3, 1994, pp. 223-239, DOI:10.1007/BF01832961. URL consultato il 22 marzo 2024.

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