Costante Omega

La costante Omega è una costante matematica definita da

${\displaystyle \Omega \cdot e^{\Omega }=1}$

e la cui espansione decimale inizia con

${\displaystyle \Omega =0,5671432904097838729999686622...}$

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ω può essere anche definito come la soluzione di

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$

o anche di

${\displaystyle \ln(1/\Omega )=\Omega .}$

La costante ${\displaystyle \Omega }$ può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale ${\displaystyle \Omega _{0}}$ e considerando la successione

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}$

che avrà limite ${\displaystyle \Omega }$ quando ${\displaystyle n\to \infty }$. La convergenza di questa iterazione avviene poiché ${\displaystyle \Omega }$ è un punto fisso attrattivo della funzione ${\displaystyle e^{-x}}$.

A ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

poiché la funzione

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente a ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1.}$

La costante ${\displaystyle \Omega }$ è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se ${\displaystyle \Omega ={\frac {p}{q}}}$ (con p e q interi), allora

${\displaystyle 1={\frac {p}{q}}e^{p/q}}$

cioè

${\displaystyle e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di ${\displaystyle \Omega }$ è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, il numero ${\displaystyle e^{\Omega }}$ sarebbe trascendente, così come ${\displaystyle {\Omega \cdot e^{\Omega }}}$, il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1 per definizione. Quindi ${\displaystyle \Omega }$ è trascendente.

• Funzione W di Lambert

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante Omega, su MathWorld, Wolfram Research.

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