Eccentricità (matematica)

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L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo ${\displaystyle e}$ che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per ${\displaystyle 0\leq e<1}$ (in particolare circonferenze per ${\displaystyle e=0}$), parabole per ${\displaystyle e=1,}$ iperboli per ${\displaystyle e>1.}$ L'eccentricità può essere interpretata come una misura di quanto una sezione conica è lontana dall'essere una circonferenza.

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Fissati nel piano una retta ${\displaystyle r}$ (direttrice) e un punto ${\displaystyle F}$ (fuoco) esterno a ${\displaystyle r}$, una conica di eccentricità ${\displaystyle e>0}$ è il luogo dei punti ${\displaystyle P}$ che hanno distanza dal fuoco pari a ${\displaystyle e}$ volte la loro distanza dalla direttrice:

${\displaystyle d(P,F)=e\cdot d(P,r).}$

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura ${\displaystyle \alpha }$ (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo ${\displaystyle \beta }$ con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

${\displaystyle e={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }},\quad 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \beta \leq {\frac {\pi }{2}}.}$

Per ${\displaystyle e<1}$, ovvero ${\displaystyle \beta >\alpha }$, si ha un'ellisse, che ha ${\displaystyle F}$ come uno dei due fuochi.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,}$

l'eccentricità ${\displaystyle e}$, l'asse maggiore ${\displaystyle 2a}$, l'asse minore ${\displaystyle 2b}$ e la distanza interfocale ${\displaystyle 2c}$ sono legati tra loro dalle formule

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2},}$

${\displaystyle c=ea,}$

${\displaystyle b^{2}=(1-e^{2})a^{2}.}$

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},}$

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto ${\displaystyle a/b}$ tra i semiassi. In particolare per ${\displaystyle e=0}$, ovvero ${\displaystyle a=b}$, l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto ${\displaystyle F}$).

Per ${\displaystyle e=1}$, ovvero ${\displaystyle \beta =\alpha }$ si ottiene una parabola avente fuoco ${\displaystyle F}$ e direttrice ${\displaystyle r}$: è il luogo dei punti equidistanti da ${\displaystyle F}$ e da ${\displaystyle r}$.

Per ${\displaystyle e>1}$, ovvero ${\displaystyle \beta <\alpha }$, si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è ${\displaystyle F}$.

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,}$

con asintoti

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x,}$

l'eccentricità ${\displaystyle e}$, la distanza tra i vertici ${\displaystyle 2a}$, i coefficienti angolari ${\displaystyle \pm b/a}$ degli asintoti e la distanza interfocale ${\displaystyle 2c}$ sono legati tra loro dalle formule

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},\qquad b^{2}=(e^{2}-1)a^{2},\qquad c=ea.}$

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

${\displaystyle e={\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},\qquad e={\frac {c}{a}}.}$

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari ${\displaystyle \pm a/b}$ degli asintoti.

In particolare per ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$, ossia quando l'iperbole è equilatera (cioè ${\displaystyle a=b}$), questo è possibile solo se

${\displaystyle {\cos \alpha }={\frac {\cos \beta }{\sqrt {2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}},}$

ossia solo se ${\displaystyle {\alpha }\geq {\frac {\pi }{4}}}$, geometricamente questo avviene solo quando l'angolo formato dalla sezione assiale del cono supera un angolo retto.

• Classe di equivalenza
• Cono circolare retto
• Ellisse
• Iperbole (geometria)
• Parabola (geometria)
• Sezione conica
• Similitudine (geometria)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «eccentricità»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'eccentricità

• (EN) eccentricity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Eccentricità, su MathWorld, Wolfram Research.

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