Equazione differenziale di Bernoulli

Disambiguazione – Se stai cercando l'equazione di Bernoulli in fluidodinamica, vedi Equazione di Bernoulli.

In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

y'+f(x)y=g(x)y^{n}

con $n$ costante. Se $x_{0}\in (a,b)$ e:

\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array}}\right.

è una soluzione dell'equazione lineare:

z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)

allora si ha che $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ è una soluzione di:

y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione $y\equiv 0$ per $y_{0}=0$ per ogni $\alpha >0$ .

Metodo di risoluzione

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per $n=1$ o $n=0$ l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per $y^{n}$ (tenendo conto del fatto che, per $n>0$ , $y=0$ rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per $n<0$ la funzione $y$ deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

{\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {f(x)}{y^{n-1}}}=g(x)

Si effettua poi la sostituzione $w=1/y^{n-1}$ , da cui:

w'={\frac {1-n}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}

si ha:

{w'}+w(1-n){f(x)}=(1-n)g(x)

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

{w'}=w(n-1){f(x)}+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)

e integrando, si ottiene:

w=e^{\int {F}}\left(\int {Ge^{-\int {F}}}+c\right)

da cui poi si ricava la $y$ .

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

y=z^{\frac {1}{1-n}}

nell'equazione:

y'=-f(x)y+g(x)y^{n}

in modo che si ha:

z'=(1-n)y'y^{-n}

da cui:

y'=z'{\frac {y^{n}}{1-n}}

quindi sostituendo e semplificando:

z'=(1-n)[-f(x)z+g(x)]

Esempio

Sia dato:

y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x

dividendo si ha:

{\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x

ponendo $w={\frac {1}{y^{-3}}}$ :

w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x

e integrando:

w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}

Ricordando che $w=y^{3}$ , l'unica radice reale per $y$ è:

y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}

Bibliografia

(EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
(EN) Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
(EN) Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
(EN) Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Voci correlate

Equazione di Riccati
Equazione differenziale lineare
Equazione differenziale ordinaria

Collegamenti esterni

Bernoulli, equazione differenziale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Equazione differenziale di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Equazione differenziale di Bernoulli, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) SosMath, su sosmath.com.
(EN) Lamar University, su tutorial.math.lamar.edu.