Fibrato tangente

In topologia differenziale il fibrato tangente ${\displaystyle TM}$ a una varietà differenziabile ${\displaystyle M}$ è l'insieme formato dall'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di ${\displaystyle M}$. Questo insieme è dotato di una struttura di varietà differenziabile, di dimensione doppia di quella di ${\displaystyle M}$, ed è generalmente visualizzato come fibrato vettoriale

${\displaystyle \pi :TM\to M}$

su ${\displaystyle M}$, in cui la controimmagine di un punto ${\displaystyle x}$ è proprio lo spazio tangente ${\displaystyle T_{x}M}$ al punto.^[1]

Definizione

Insieme

Sia ${\displaystyle M}$ una varietà differenziabile. Il fibrato tangente di ${\displaystyle M}$ è l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle TM=\coprod _{x\in M}T_{x}M=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M.}$

Un punto di ${\displaystyle TM}$ è quindi una coppia ${\displaystyle (x,v)}$, dove ${\displaystyle x}$ è un punto di ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle v}$ un vettore tangente a ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x}$, cioè un elemento dello spazio tangente ${\displaystyle T_{x}M}$ di ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x.}$

La proiezione

${\displaystyle \pi :TM\to M}$

manda il punto ${\displaystyle (x,v)\in TM}$ in ${\displaystyle x\in M.}$

Varietà differenziabile

Lo spazio ${\displaystyle TM}$ è dotato di una struttura di varietà differenziabile, che porta ${\displaystyle \pi }$ ad essere un fibrato vettoriale differenziabile. La struttura può essere definita nel modo seguente. La struttura differenziabile di ${\displaystyle M}$ è data da un insieme di carte

${\displaystyle \phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Ad ogni carta di ${\displaystyle M}$ si associa la carta seguente per ${\displaystyle TM}$:

${\displaystyle \psi _{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\colon (x,v)\mapsto {\big (}\phi _{\alpha }(x),(d\phi _{\alpha })_{x}(v){\big )}.}$

In questa scrittura, lo spazio tangente di un punto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è identificato con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ stesso. Questo insieme di carte dà effettivamente luogo a un atlante di carte compatibili e quindi a una struttura di varietà differenziabile.

Se ${\displaystyle M}$ ha dimensione ${\displaystyle n}$, il fibrato tangente ha dimensione ${\displaystyle 2n}$.^[2]

Proprietà

Funzioni differenziabili

Ogni funzione differenziabile

${\displaystyle f:M\to N}$

tra varietà differenziabili (non necessariamente della stessa dimensione) induce una funzione differenziabile

${\displaystyle {\tilde {f}}:TM\to TN}$

fra i corrispettivi fibrati. La funzione è definita nel modo seguente:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x,v)={\big (}f(x),(df)_{x}(v){\big )}.}$

Campi vettoriali

Lo stesso argomento in dettaglio: Campo vettoriale.

Un campo vettoriale su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto di ${\displaystyle x}$ un vettore tangente a ${\displaystyle x}$. In altre parole, è una sezione del fibrato tangente, ovvero una funzione

${\displaystyle s:M\to TM}$

tale che ${\displaystyle \pi \circ s}$ sia la funzione identità su ${\displaystyle M}$. Generalmente si richiede implicitamente che il campo vettoriale sia liscio, ovvero che la sezione sia una funzione differenziabile.

L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero ${\displaystyle \chi (M)}$ di ${\displaystyle M}$: un campo mai nullo esiste se e solo se ${\displaystyle \chi (M)=0}$.

Orientabilità

Il fibrato tangente ${\displaystyle TM}$ è sempre una varietà orientabile, anche quando ${\displaystyle M}$ non lo è.

Fibrati banali e non banali

Localmente, come per ogni fibrato vettoriale, il fibrato tangente è esprimibile come prodotto

${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$

dove ${\displaystyle U}$ è un aperto, sufficientemente piccolo, di ${\displaystyle M}$. Globalmente il fibrato tangente può non essere un prodotto. Infatti non esiste a priori nessun modo di identificare i vettori di due spazi tangenti ${\displaystyle T_{x}M}$ e ${\displaystyle T_{y}M}$ corrispondenti a spazi differenti.

Una varietà differenziabile il cui fibrato tangente è banale è detta parallelizzabile. Una ${\displaystyle n}$-varietà è parallelizzabile se e solo se esistono ${\displaystyle n}$ campi vettoriali mai nulli, che in ogni punto ${\displaystyle x}$ formano ${\displaystyle n}$ vettori indipendenti di ${\displaystyle T_{x}}$ (ovvero una base). L'esistenza di queste basi è proprio ciò che serve per poter identificare i punti di due spazi tangenti differenti, fissando delle coordinate valide in tutti gli spazi tangenti.

Ad esempio, il fibrato tangente della circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$ è esprimibile come prodotto ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$, come illustrato in figura. Il fibrato tangente della sfera bidimensionale ${\displaystyle S^{2}}$ non è però esprimibile come prodotto: per il teorema della palla pelosa non esistono infatti campi vettoriali mai nulli su ${\displaystyle S^{2}}$.

In generale, affinché una varietà sia parallelizzabile è necessario che abbia caratteristica di Eulero nulla. Non è però vero il viceversa: esistono varietà con caratteristica di Eulero nulla che non sono parallelizzabili.

Note

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Fibrato vettoriale
• Fibrato naturale
• Spazio tangente
• Campo vettoriale

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