In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha:
,
dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : .
Indice
1Definizione
2Espressioni alternative
3Proprietà
3.1Valori notevoli
3.2Teorema di unicità
4Bibliografia
5Voci correlate
6Altri progetti
7Collegamenti esterni
Definizione
La notazione è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso è positiva, allora l'integrale
converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della a tutti i numeri complessi , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:
per cui si ha:
In questo modo, la definizione della può essere estesa dal semipiano a quello (ad eccezione del polo in ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in ).
Siccome , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali , che:
In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:
che si ottiene ponendo , e quindi , ottenendo quindi
Espressioni alternative
Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):
Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.
Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine è definita nel modo seguente:
Valori notevoli
Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:
che si può trovare ponendo nella formula di riflessione.
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di
dove denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.
Teorema di unicità
Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bohr-Mollerup.
Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.
Bibliografia
Donato Greco, Complementi di Analisi, capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.