Funzioni di Lommel

In matematica, con funzioni di Lommel, in riferimento a Eugen von Lommel, vengono identificati diversi tipi di funzioni tra cui le soluzioni dell'equazione di Lommel, una generalizzazione dell'equazione di Bessel. Esse possono essere:

• Funzioni dipendenti da una sola variabile ${\displaystyle z}$, indicate con ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)}$ e ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$, dove ${\displaystyle \mu ,\nu }$ sono parametri. Sono state studiate da Lommel nel 1876.
• Funzioni dipendenti da due variabili ${\displaystyle w,z}$ denotate con ${\displaystyle U_{n}(w,z)}$ e ${\displaystyle V_{n}(w,z)}$, studiate da Lommel nel 1886.

Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile

Le funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)}$ e ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$ soddisfano l'equazione differenziale lineare detta equazione di Lommel:

${\displaystyle z^{2}{\frac {dy}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}$

La funzione ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)}$ è la soluzione, sviluppabile come serie di potenze:

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+2}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\Gamma ((\mu -\nu +3)/2+n)\Gamma ((\mu +\nu +3)/2+n)}}.}$

Le soluzioni dell'equazione differenziale lineare sono ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)+AJ_{\nu }(z)+BJ_{-\nu }(z)}$ dove ${\displaystyle J_{\pm \nu }}$ sono funzioni di Bessel.

La funzione di Lommel ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$ è definita come:

${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }}\left[\cos(\pi (\mu -\nu )/2)\;J_{-\nu }(z)-\cos(\pi (\mu +\nu )/2)\;J_{\nu }(z)\right].}$

Le funzioni di Anger, le funzioni di Weber e le funzioni di Struve sono casi particolari delle funzioni di Lommel.

Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili

Le funzioni ${\displaystyle U_{n}(w,z)}$ e ${\displaystyle V_{n}(w,z)}$ sono definite come serie di Neumann, ossia come uno sviluppo costruito sulle funzioni di Bessel:

${\displaystyle U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\nu +2m}J_{\nu +2m}(z);}$

${\displaystyle V_{\nu }(w,z)=\cos \left({\frac {w}{2}}+{\frac {z}{2w}}+{\frac {\nu \pi }{2}}\right)+U_{2-\nu }(w,z).}$

Queste funzioni sono importanti nella teoria della diffrazione.

Bibliografia

• (DE) E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876)
• (DE) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345–352
• (DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886)
• (DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886)
• (EN) J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904)
• (EN) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537–550
• (EN) A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165–209 (London: Macmillan and co., 1895)

Voci correlate

• Equazioni di Bessel
• Funzioni di Anger
• Funzioni di Bessel
• Funzioni di Weber
• Funzioni di Struve

Collegamenti esterni

• (EN) E.D. Solomentsev, Lommel function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzioni di Lommel, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica