Ipotrocoide

Abbozzo geometria
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La curva rossa è un'ipotrocoide disegnata facendo ruotare il cerchio nero, più piccolo, dentro il cerchio blu, più grande (i parametri sono R = 5, r = 3, d = 5).
L'ellisse (disegnata in rosso) può essere espressa come un caso speciale di un'ipotrocoide dove R = 2r; nell'immagine, R = 10, r = 5, d = 1.

In geometria, un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio c {\displaystyle c} di raggio r {\displaystyle r} e posto a una distanza d {\displaystyle d} dal centro (del cerchio c {\displaystyle c} ): quando c {\displaystyle c} ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio R , {\displaystyle R,} traccia l'ipotrocoide.

Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:

{ x ( ϕ ) = ( R − r ) cos ⁡ ϕ + d cos ⁡ ( R − r r ϕ ) y ( ϕ ) = ( R − r ) sin ⁡ ϕ − d sin ⁡ ( R − r r ϕ ) . {\displaystyle {\begin{cases}x(\phi )=(R-r)\cos \phi +d\cos \left({R-r \over r}\phi \right)\\y(\phi )=(R-r)\sin \phi -d\sin \left({R-r \over r}\phi \right).\end{cases}}}

L'equazione polare di un'ipotrocoide è

ρ ( ϕ ) 2 = ( R − r ) 2 + 2 d ( R − r ) cos ⁡ ( R r ϕ ) + d 2 , {\displaystyle \rho (\phi )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\phi \right)+d^{2},}

dove ϕ {\displaystyle \phi } non è l'angolo polare θ , {\displaystyle \theta ,} ma, quando x ≠ 0 , {\displaystyle x\neq 0,} le due variabili sono legate dalla relazione:

tan ⁡ θ = y x = ( R − r ) sin ⁡ ϕ − d sin ⁡ ( R − r r ϕ ) ( R − r ) cos ⁡ ϕ + d cos ⁡ ( R − r r ϕ ) . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {(R-r)\sin \phi -d\sin \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}{(R-r)\cos \phi +d\cos \left({\frac {R-r}{r}}\phi \right)}}.}

Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide, relativa a d = r , {\displaystyle d=r,} e l'ellisse, ottenuta quando R = 2 r . {\displaystyle R=2r.}

Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi, possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo.

Voci correlate

  • Epitrocoide
  • Cicloide
  • Ipocicloide
  • Epicicloide
  • Spirograph

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Ipotrocoide, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • Flash Animation of Hypocycloid, su mekanizmalar.com.
  • Hypotrochoid dal Dizionario Visuale delle Curve Piane Speciali, Xah Lee
  • Interactive hypotrochoide animation, su geogebra.org. URL consultato il 2 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2012).
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