Poligono

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Poligono (disambigua).
Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato e concavo

In geometria un poligono (dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo") è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

Definizione

Una definizione di poligono è la seguente.

Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa.

Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è chiusa quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è semplice (o non intrecciata) se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).

Il punto in comune a due lati consecutivi è detto vertice.

Sulla parte delimitata

Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan.

Una definizione costruttiva è la seguente: un punto P {\displaystyle P} del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da P {\displaystyle P} intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.

Classificazione

Numero di lati

Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).

Convessità

Un poligono è:

semplice
se i lati del poligono non si intersecano.
complesso (o intrecciato)
Un poligono intrecciato.
se non è semplice.

Un poligono semplice è:

convesso
se ogni angolo interno è minore o uguale ad un angolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).
concavo
se anche un solo angolo interno è maggiore di 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o più segmenti cade all'interno del poligono).

Simmetria con uguaglianza

In base alla simmetria, un poligono è:

equilatero
se tutti i suoi lati sono uguali.
equiangolo
se tutti i suoi angoli sono uguali.
ciclico
se tutti i suoi vertici giacciono su un'unica circonferenza.
regolare
se è convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se è ciclico ed equilatero).
irregolare
se non è regolare.

Proprietà

Angoli

Un poligono irregolare

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati ( n {\displaystyle n} ), meno due

180 ∘ × ( n − 2 ) . {\displaystyle 180^{\circ }\times (n-2).}

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

α + β + γ + δ + ε = ( 5 − 2 ) × 180 ∘ = 540 ∘ . {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }.}

La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} , e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con n {\displaystyle n} lati è uguale a

( 360 ∘ × n ) − [ 180 ∘ × ( n − 2 ) ] = 180 ∘ × ( n + 2 ) . {\displaystyle (360^{\circ }\times n)-[180^{\circ }\times (n-2)]=180^{\circ }\times (n+2).}

In quanto la somma di tutti gli angoli esterni e interni è, evidentemente, uguale a n {\displaystyle n} volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.

Area

Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con n {\displaystyle n} vertici aventi coordinate cartesiane ( x i ; y i ) i = 1 , … , n {\displaystyle (x_{i};y_{i})_{i=1,\ldots ,n}} nel modo seguente:

A = 1 2 | ∑ i = 1 n x i y i + 1 − ∑ i = 1 n x i + 1 y i | {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}\right|}

con la convenzione che ( x n + 1 ; y n + 1 ) = ( x 1 ; y 1 ) {\displaystyle (x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})} .

Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.

Nomi di poligono

Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:

N° lati Nome
3 Triangolo
4 Quadrilatero
5 Pentagono
6 Esagono
7 Ettagono
8 Ottagono
9 Ennagono
10 Decagono
11 Endecagono
12 Dodecagono
13 Tridecagono
14 Tetradecagono
15 Pentadecagono
16 Esadecagono
17 Eptadecagono
18 Ottadecagono
19 Ennadecagono
20 Icosagono
21 Endeicosagono
22 Doicosagono
23 Triaicosagono
24 Tetraicosagono
25 Pentaicosagono
26 Esaicosagono
27 Eptaicosagono
28 Ottaicosagono
29 Ennaicosagono
30 Triacontagono
40 Tetracontagono
50 Pentacontagono
60 Esacontagono
70 Eptacontagono
80 Ottacontagono
90 Ennacontagono
100 Hectogono
257 257-gono
1 000 Chiliagono
10 000 Miriagono
65537 65537-gono

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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