Regole di derivazione

In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione

Siano ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ funzioni reali di variabile reale ${\displaystyle x}$ derivabili, e sia ${\displaystyle \mathrm {D} }$ l'operazione di derivazione rispetto a ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {D} [f(x)]=f'(x),\qquad \mathrm {D} [g(x)]=g'(x).}$

• Regola della somma (linearità):

${\displaystyle \mathrm {D} [\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x),\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .}$

• Regola del prodotto (o di Leibniz):

${\displaystyle \mathrm {D} [{f(x)\cdot g(x)}]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

• Regola del quoziente:

${\displaystyle \mathrm {D} \left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}.}$

• Regola della funzione reciproca:

${\displaystyle \mathrm {D} \left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}.}$

• Regola della funzione inversa:

${\displaystyle \mathrm {D} [f^{-1}(x)]={1 \over f'(f^{-1}(x))}.}$

• Regola della catena:

${\displaystyle \mathrm {D} \left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x).}$

• Regola della potenza:

${\displaystyle \mathrm {D} \left[f(x)^{g(x)}\right]=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln(f(x))+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right].}$

Derivate fondamentali

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali

• ${\displaystyle \mathrm {D} (a)=0,\qquad a{\text{ costante}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (x)=1.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (ax)=a,\qquad a{\text{ costante}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (x^{2})=2x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (x^{3})=3x^{2}.}$

Più in generale si ha:

• ${\displaystyle \mathrm {D} (x^{n})=nx^{n-1},\qquad {\text{con }}n\in \mathbb {N} .}$

Da quest'ultima relazione segue che se ${\displaystyle f(x)}$ è un polinomio generico di grado ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle D\left(f(x)\right)}$ è in generale un polinomio di grado ${\displaystyle n-1}$.

Potenze, radici e valore assoluto

• ${\displaystyle \mathrm {D} (x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1},\qquad {\text{con }}\alpha \in \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\sqrt[{2}]{x}})={\frac {1}{2{\sqrt[{2}]{x}}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}},\qquad {\text{se }}x>0.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (|x|)={\dfrac {|x|}{x}}={\dfrac {x}{|x|}}.}$

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\log _{b}x)={\frac {\log _{b}\mathrm {e} }{x}}={\frac {1}{x\ln b}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\ln x)={\frac {1}{x}}.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (e^{x})=\mathrm {e} ^{x}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (a^{x})=a^{x}\ln a.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (x^{x})=x^{x}(1+\ln x).}$

Funzioni goniometriche

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\sin x)=\cos x.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\cos x)=-\sin x.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\tan x)=1+\tan ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\cot x)=-(1+\cot ^{2}x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\sec x)=\tan x\sec x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\csc x)=-\cot x\csc x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\arccos x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arccot} x)={-1 \over 1+x^{2}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arcsec} x)={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\operatorname {arccsc} x)={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}$

Funzioni iperboliche

• ${\displaystyle \mathrm {D} (\sinh x)=\cosh x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\cosh x)=\sinh x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\tanh x)=1-\tanh ^{2}x={1 \over \cosh ^{2}x}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{coth}}\,x)=-{\mbox{csch}}^{2}\,x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{sech}}\,x)=-\tanh x\;{\mbox{sech}}\,x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{csch}}\,x)=-{\mbox{coth}}\,x\;{\mbox{csch}}\,x.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settsinh}}\,x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settanh}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settcoth}}\,x)={1 \over 1-x^{2}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settsech}}\,x)={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ({\mbox{settcsch}}\,x)={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Derivate di funzioni composte

• ${\displaystyle \mathrm {D} (|f(x)|)=f'(x){\dfrac {f(x)}{|f(x)|}}=f'(x){\dfrac {|f(x)|}{f(x)}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} ([f(x)]^{n})=n\cdot f(x)^{n-1}\cdot f'(x).}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\ln f(x))={f'(x) \over f(x)}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\ln |f(x)|)={f'(x) \over f(x)}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\mathrm {e} ^{f(x)})=\mathrm {e} ^{f(x)}\cdot f'(x).}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (a^{f(x)})=a^{f(x)}\cdot f'(x)\cdot \ln a.}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\sin f(x))=\cos f(x)\cdot f'(x).}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\cos f(x))=-\sin f(x)\cdot f'(x).}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} (\tan f(x))={f'(x) \over \cos ^{2}f(x)}.}$
• ${\displaystyle D(\arcsin f(x))={f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}.}$
• ${\displaystyle D(\arccos f(x))={-f'(x) \over {\sqrt {1-[f(x)]^{2}}}}.}$
• ${\displaystyle D(\arctan f(x))={f'(x) \over 1+[f(x)]^{2}}.}$
• ${\displaystyle D(f(x)^{g(x)})=f(x)^{g(x)}\cdot \left[g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot {f'(x) \over f(x)}\right].}$

• ${\displaystyle D(x^{f(x)})=x^{f(x)}\cdot \left[f'(x)\cdot \ln x+{f(x) \over x}\right].}$

Voci correlate

• Metodi di integrazione

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