ケンドールの順位相関係数

ケンドールの順位相関係数（けんどーるのじゅんいそうかんけいすう、ケンドールのタウ係数、英: Kendall rank correlation coefficient）は、順位（Ranking)間の相関計測に用いられ、相関の強さを表す。言い換えれば、それは複数のデータ間（cross tabulations）の関連性（association）の強さを表す。1938年にモーリス・ケンドール（Maurice Kendall）によって開発された。

順位相関を計測する別の方法としてはスピアマンの順位相関係数があるが、両者はほぼ同じ傾向を示す^[1]。

定義

順位データ x = (x₁, …, x_n) と y = (y₁, …, y_n) とのケンドールの順位相関係数 τ は次で定義される^[2]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {K-L}{\binom {n}{2}}}\\K&=\#\left\{\,\{i,j\}\in {\binom {[n]}{2}}\mid x_{i}\lessgtr x_{j},\ y_{i}\lessgtr y_{j}\,\right\}\\L&=\#\left\{\,\{i,j\}\in {\binom {[n]}{2}}\mid \neg (x_{i}\lessgtr x_{j},\ y_{i}\lessgtr y_{j})\,\right\}\end{aligned}}}$

ここで K（または L ）は n 項目から2項目を選んだときに順位関係が一致（または不一致）する組の数である。τ の分母は二項係数である。# は元の個数（濃度）を表す。また ${\displaystyle [n]:=\{1,\dotsc ,n\}}$ であり、集合 X と自然数 k に対して ${\displaystyle {\binom {X}{k}}}$ は X の k 個の元からなる部分集合全体を表す。${\displaystyle \lessgtr }$ は < または > を表し（複号同順）、${\displaystyle \neg }$ は否定を表す。

特性

ケンドールの順位相関係数 τ は以下の特性を持つ。

• 順位が完全に一致している（すなわち L = 0）ならば τ = +1 である。
• 順位が完全に一致していない（すなわち K = 0）ならば τ = −1 である。
• 他のすべての場合には係数の値は−1と+1の間にあり、値の増加は相関の増大を意味する。順位が完全に独立しているなら、係数の値は0である。

参考文献

• 脇本和昌『身近なデータによる統計解析入門』森北出版、1973年。ISBN 4627090307。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/1321。 
• Abdi, H. (2007) Kendall rank correlation. In N.J. Salkind (Ed.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage. ^[3]
• Kendall, M. (1948) Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
• Kendall, M. (1938) "A New Measure of Rank Correlation", Biometrika, 30, 81-89.

脚注

関連項目

• ケンドールτ距離（英語版）
• スピアマンの順位相関係数
• 相関係数

外部リンク

• 棄却限界値の数表 — Pestman, Wiebe R. (2009). Mathematical statistics. de Gruyter Textbook (Second ed.). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020852-8. MR2516478. Zbl 1251.62001. https://books.google.com/books?id=9QHcJ8WQQ5UC 
• Why Kendall tau?
• Online software: computes Kendall's tau rank correlation
• Test for Association/Correlation Between Paired Samples—R言語ではcor.test(x, y, method="kendall")で τ が計算できる

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
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