静電エネルギー

静電エネルギー（英語: electrostatic energy）とは、電場が持つエネルギーである。

定義

自由空間において電場 E があるとき、電場は体積あたりの密度で

u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}

のエネルギーを持つ^[1]。このエネルギーが静電エネルギーであり、ある領域 V 内の静電エネルギーは積分

U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}^{2}\,d^{3}x

で定義される。

媒質がある場合には、電気変位 D により

u=\int _{0}^{D}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {D}}

で与えられる^[2]。構成方程式を用いれば、誘電分極 P により

u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+\int _{0}^{P}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {P}}

となる。特に線形媒質の場合には

u=\epsilon \int _{0}^{E}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {E}}={\frac {\epsilon }{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}

となる。

場の時間変動がない場合は静電ポテンシャル φ により

{\begin{aligned}U&=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}\cdot \operatorname {grad} \phi \,d^{3}x\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\phi \,\operatorname {div} {\boldsymbol {E}}\,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\operatorname {div} (\phi {\boldsymbol {E}})\,d^{3}x\\&={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \,\phi \,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\partial V}(\phi {\boldsymbol {E}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\\\end{aligned}}

と表される。境界でポテンシャルがゼロとする条件を課すことで第二項を落とせば

U={\frac {1}{2}}\int \rho \,\phi \,d^{3}x

となる^[1]。電位 φ_i の導体に電荷 q_i が充電されているとき

U={\frac {1}{2}}\sum _{i}q_{i}\phi _{i}

である。静電容量を用いれば

U={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}C_{ij}\phi _{i}\phi _{j}

となる^[1]。

印加電圧 V で電荷 Q が充電されたコンデンサのもつ静電エネルギーは、二つの電極板で電荷が $q_{1}=Q$ 、 $q_{2}=-Q$ 、電位が $\phi _{1}-\phi _{2}=V$ であることから

U={\frac {1}{2}}(q_{1}\phi _{1}+q_{2}\phi _{2})={\frac {1}{2}}Q(\phi _{1}-\phi _{2})={\frac {1}{2}}QV

と導かれる。静電容量を用いれば

U={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}

となる。

表話編歴電磁気学
基本	電気磁性
静電気学	電荷クーロンの法則電場電束ガウスの法則電位静電誘導電気双極子分極電荷
静磁気学	アンペールの法則電流磁場磁化磁束ビオ・サバールの法則磁気モーメントガウスの法則
電気力学	自由空間ローレンツ力起電力電磁誘導ファラデーの法則レンツの法則変位電流マクスウェルの方程式電磁場電磁波リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル（英語版）マクスウェル・テンソル渦電流
電気回路	電気伝導電圧キルヒホッフの法則電気抵抗静電容量インダクタンス交流インピーダンスアドミタンス共鳴空洞導波管
共変定式	電磁場テンソル 4元電流密度電磁ポテンシャル電磁場の応力エネルギーテンソル（英語版）
人物	アンペールクーロンファラデーガウスオームヘヴィサイドヘンリーヘルツキルヒホフローレンツマクスウェルテスラボルタヴェーバーエルステッド
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