Bramka Hadamarda

Symbol bramki Hadamarda używany w obliczeniach kwantowych i na schematach obwodów kwantowych

Bramka Hadamarda (ozn. w skrócie symbolem H) – jednokubitowa bramka kwantowa, która przekształca qubity w stanach bazowych | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } and | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } na superpozycje tych stanów z równymi wagami; zwykle wybiera się tak fazę, że bramka ta w notacji Diraca ma postać:

H = | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ⟨ 0 | + | 0 ⟩ − | 1 ⟩ 2 ⟨ 1 | {\displaystyle H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|}

W reprezentacji macierzowej bramkę tą reprezentuje 2-wymiarowa macierz unitarna; w bazie wektorów | 0 ⟩ , | 1 ⟩ {\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle } macierz ta jest iloczynem 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}\,^{-1}} i macierzy Hadamarda:

H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] {\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}

Działanie bramki Hadamarda

Działanie bramki Hadamarda H dla wektorów bazowych (stanów bazowych) | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } oraz | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } oblicza się, mnożąc macierz H przez wektory bazy, co daje wynik:

H | 0 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) , {\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )},}
H | 1 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) . {\displaystyle H\,|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}.}

Wektory H | 0 ⟩ , H | 1 ⟩ {\displaystyle H|0\rangle ,H|1\rangle } stanowią bazę ortonormalną w przestrzeni stanów jednego kubitu, którą nazywa się bazą Hadamarda i oznacza symbolami | + ⟩ ≡ H | 0 ⟩ , {\displaystyle |+\rangle \equiv H|0\rangle ,} | − ⟩ ≡ H | 1 ⟩ . {\displaystyle |-\rangle \equiv H|1\rangle .}

Odwracalność bramki Hadamarda

Bramka Hadamarda jak każda bramka kwantowa jest odwracalna, tzn. jeśli jej działanie prowadzi do pewnego stanu kwantowego to ponowne przejście tego stanu przez bramkę daje stan początkowy. Np.:

H | 0 ⟩ = 1 2 | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ {\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }

oraz

H ( 1 2 | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ ) = 1 2 ( H | 0 ⟩ + H | 1 ⟩ ) = 1 2 ( 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) + 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) ) = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ + | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) = | 0 ⟩ . {\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(H|0\rangle +H|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}\right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle .}

Bramka Hadamarda ma podstawowe znaczenie dla obliczeń kwantowych, jako jedna z tzw. uniwersalnych bramek kwantowych, tzn. wszystkie inne bramki kwantowe można zbudować z uniwersalnych bramek kwantowych.

Zobacz też

  • algorytm kwantowy
  • informatyka kwantowa
  • komputer kwantowy
  • Jacques Hadamard