CW-kompleks

Definicja

Przestrzeń topologiczną X {\displaystyle X} nazywa się CW-kompleksem[1], jeśli można ją przedstawić w postaci sumy rozłącznych zbiorów σ i k , {\displaystyle \sigma _{i}^{k},} nazywanych komórkami, gdzie i {\displaystyle i} jest numerem komórki, a k {\displaystyle k} – jej wymiarem, to znaczy

X = ⋃ k = 0 ∞ ⋃ i ∈ I k σ i k , {\displaystyle X=\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\bigcup \limits _{i\in I_{k}}\sigma _{i}^{k},}

gdzie I k {\displaystyle I_{k}} są zbiorami indeksów, a dla każdej k {\displaystyle k} -komórki σ i k {\displaystyle \sigma _{i}^{k}} jest określone odwzorowanie ciągłe (tak zwane odwzorowanie charakterystyczne) χ i k : D k → X {\displaystyle \chi _{i}^{k}:D^{k}\to X} pewnej domkniętej kuli k {\displaystyle k} -wymiarowej w przestrzeń X , {\displaystyle X,} które ma własności następujące:

  1. Ograniczenie odwzorowania χ i k : D k → X {\displaystyle \chi _{i}^{k}:D^{k}\to X} do wnętrza kuli Int ⁡ D k {\displaystyle \operatorname {Int} D^{k}} jest homeomorfizmem Int ⁡ D k {\displaystyle \operatorname {Int} D^{k}} na komórkę σ i k . {\displaystyle \sigma _{i}^{k}.}
  2. Ograniczenie komórki σ i k , {\displaystyle \sigma _{i}^{k},} czyli σ ¯ i k ∖ σ i k , {\displaystyle {\overline {\sigma }}_{i}^{k}\setminus \sigma _{i}^{k},} gdzie σ ¯ i k {\displaystyle {\overline {\sigma }}_{i}^{k}} jest domknięciem zbioru σ i k {\displaystyle \sigma _{i}^{k}} w X , {\displaystyle X,} zawiera się w sumie skończonej liczby komórek mniejszego wymiaru.
  3. Zbiór Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej komórki σ i k {\displaystyle \sigma _{i}^{k}} zbiór ( χ i k ) − 1 ( Y ) ∩ D k {\displaystyle (\chi _{i}^{k})^{-1}(Y)\cap D^{k}} jest domknięty w D k . {\displaystyle D^{k}.}

Przykłady

  • Sfera n {\displaystyle n} -wymiarowa S n {\displaystyle S^{n}} może być przedstawiona w postaci sumy dwóch komórek, 0-wymiarowej i n {\displaystyle n} -wymiarowej:
S n = σ 0 ∪ σ n {\displaystyle S^{n}=\sigma ^{0}\cup \sigma ^{n}} [1].
  • Torus T 2 {\displaystyle T^{2}} jest sumą jednej komórki 0-wymiarowej, dwóch komórek 1-wymiarowych i jednej komórki 2-wymiarowej:
T 2 = σ 0 ∪ ⋃ k = 1 2 σ k 1 ∪ σ 2 {\displaystyle T^{2}=\sigma ^{0}\cup \bigcup \limits _{k=1}^{2}\sigma _{k}^{1}\cup \sigma ^{2}}

Przypisy

  1. ↑ a b Фоменко, op. cit., s. 9.

Bibliografia

  • Анатолий Фоменко: Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. Ижевск: 1999.

Literatura dodatkowa

  • Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991. ISBN 83-01-10141-5.