Element neutralny

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja

Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym ${\displaystyle \diamondsuit .}$ Element ${\displaystyle e}$ nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki^[1]:

• ${\displaystyle e\in S,}$
• ${\displaystyle \forall _{a\in S}\;e\;\diamondsuit \;a=a,}$
• ${\displaystyle \forall _{a\in S}\;a\;\diamondsuit \;e=a.}$

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez ${\displaystyle +}$ i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem ${\displaystyle 0}$ i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą ${\displaystyle \cdot ,\times }$ lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku ${\displaystyle 1,}$ który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera ${\displaystyle e}$ oraz ${\displaystyle I}$ oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady

element neutralny obustronny

• Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Jedynka w grupie multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
• Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).

elementy neutralne jednostronne

• Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:

  ${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;x-0=x,}$

jednocześnie

${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;0-x=-x,}$

a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

• Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech ${\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor }$ będzie działaniem w zbiorze ${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant 1\},}$ gdzie ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba ${\displaystyle y<2}$ jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem

  ${\displaystyle \forall _{S\ni x,y<2}\;x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor =x\cdot 1=x.}$

Działanie może nie mieć elementu neutralnego

• w zbiorze liczb całkowitych parzystych mnożenie nie ma elementu neutralnego (ani obustronnego ani jednostronego).

Własności

• Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
• Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Identity Element, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Identity element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].