Entropia topologiczna

Ten artykuł należy dopracować: → napisać/poprawić definicję. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Entropia topologiczna – wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym^[1].

Metryka Bowena-Dinaburga

Niech ${\displaystyle f\colon X\to X}$ będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X}$ z funkcją odległości ${\displaystyle d.}$

Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk ${\displaystyle d_{n}^{f},}$ ${\displaystyle n=1,2,...,}$ poczynając od ${\displaystyle d_{1}^{f}=d,}$ dany wzorem:

${\displaystyle d_{n}^{f}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}\{d(f^{i}(x),f^{i}(y))\}}$

Innymi słowy, ${\displaystyle d_{n}^{f}}$ jest odległością pomiędzy segmentami orbit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}(x)=\{x,...,f^{n-1}(x)\}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}(y)=\{y,...,f^{n-1}(y)\}.}$

Definicja entropii topologicznej

Niech ${\displaystyle N_{d}(f,r,n)}$ będzie maksymalną liczbą punktów w ${\displaystyle X}$ parami odległych o co najmniej ${\displaystyle r}$ w metryce ${\displaystyle d_{n}^{f}.}$

O takim zbiorze mówimy, że jest ${\displaystyle (n,r)}$-oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości ${\displaystyle n,}$ które są odróżnialne z dokładnością do ${\displaystyle r.}$

Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu ${\displaystyle h_{d}(f,r):=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N_{d}(f,r,n)}$ wielkości ${\displaystyle N_{d}(f,r,n).}$

Oczywiście liczba ${\displaystyle h_{d}(f,r)}$ nie maleje wraz z ${\displaystyle r,}$ więc możemy zdefiniować wielkość ${\displaystyle h_{d}(f):=\lim _{r\to 0}h_{d}(f,r).}$

Liczbę ${\displaystyle h(f):=h_{\text{top}}(f):=h_{d}(f)}$ nazywamy entropią topologiczną odwzorowania ${\displaystyle f.}$

Własności entropii topologicznej

• Jeśli ${\displaystyle d'}$ jest metryką na ${\displaystyle X}$ równoważną metryce ${\displaystyle d,}$ to ${\displaystyle h_{d'}(f)=h_{d}(f).}$
• Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego.
• Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
• Jeżeli ${\displaystyle \Lambda }$ jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to ${\displaystyle h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda })\leq h_{top}(f).}$

• Jeżeli ${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{m}\Lambda _{i},}$ gdzie ${\displaystyle \Lambda _{i}}$ są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to ${\displaystyle h_{top}(f)=\max _{1\leq i\leq m}h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda _{i}}).}$

• ${\displaystyle h_{top}(f^{m})=|{m}|\cdot h_{top}(f).}$
• Jeżeli odwzorowanie ${\displaystyle g}$ jest faktorem odwzorowania ${\displaystyle f,}$ to ${\displaystyle h_{top}(g)\leq h_{top}(f).}$
• ${\displaystyle h_{top}(f\times g)=h_{top}(f)+h_{top}(g),}$ gdzie ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X,}$ ${\displaystyle g\colon Y\rightarrow Y,}$ zaś odwzorowanie ${\displaystyle f\times g\colon X\times Y\to X\times Y}$ dane jest wzorem: ${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$

Przypisy