Formalizm Jonesa

Formalizm Jonesa – matematyczny opis stanu polaryzacji fali elektromagnetycznej, stworzony w 1941 r. przez Roberta C. Jonesa.

Spolaryzowana fala jest reprezentowana jako wektor Jonesa, liniowym elementom układu optycznego odpowiadają macierze Jonesa. Stan polaryzacji fali przechodzącej dostaje się jako iloczyn macierzy elementu i wektora fali padającej.

Wektor Jonesa fali spolaryzowanej przedstawia się jako: ( E x ( t ) E y ( t ) ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}},} gdzie E x ( t ) {\displaystyle E_{x}(t)} i E y ( t ) {\displaystyle E_{y}(t)} to składowe wektora pola elektrycznego w ortogonalnych kierunkach (zazwyczaj poziomy x i pionowy y). Typowo wektor normalizuje się tak, by suma kwadratów składowych wynosiła 1, co upraszcza analizę kosztem informacji o amplitudzie fali. Ponadto często składową x-ową wektora przyjmuje się jako rzeczywistą, co może wiązać się z utratą informacji o fazie fali, niezbędnej przy obliczeniach związanych z interferencją.

W tabeli przedstawiono przykładowe znormalizowane wektory Jonesa ( i {\displaystyle i} oznacza jednostkę urojoną, − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} ):

Polaryzacja Wektor Jonesa
Polaryzacja liniowa pozioma (oś x) ( 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
Polaryzacja liniowa pionowa (oś y) ( 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
Polaryzacja liniowa 45° od osi x 1 2 ( 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}
Polaryzacja linowa -45° od osi x 1 2 ( 1 − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}
Polaryzacja kołowa prawoskrętna 1 2 ( 1 − i ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}
Polaryzacja kołowa lewoskrętna 1 2 ( 1 i ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}
Polaryzacja eliptyczna ogólnie ( cos ⁡ α e i δ sin ⁡ α ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha \\e^{i\delta }\sin \alpha \end{pmatrix}}}

Macierze Jonesa przykładowych elementów:

Element optyczny Macierz Jonesa
Polaryzator liniowy o poziomej osi transmisji ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}
Polaryzator liniowy z pionową osią transmisji ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
Polaryzator liniowy z osią transmisji pod kątem 45° względem osi x 1 2 ( 1 1 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}
Polaryzator liniowy z osią transmisji pod kątem -45° względem osi x 1 2 ( 1 − 1 − 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}
Polaryzator liniowy z osią transmisji pod kątem φ {\displaystyle \varphi } od osi x ( cos 2 ⁡ φ cos ⁡ φ sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ sin 2 ⁡ φ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\varphi &\cos \varphi \sin \varphi \\\sin \varphi \cos \varphi &\sin ^{2}\varphi \end{pmatrix}}}
Polaryzator kołowy lewoskrętny 1 2 ( 1 − i i 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}
Polaryzator kołowy prawoskrętny 1 2 ( 1 i − i 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}
Filtr szaroodcieniowy o transmisji 0 < p < 1 ( p 0 0 p ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}}
Płytka ćwierćfalowa z osią szybką w kierunku x e i π / 4 ( 1 0 0 − i ) {\displaystyle e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}
Płytka ćwierćfalowa z osią szybką w kierunku y e i π / 4 ( 1 0 0 i ) {\displaystyle e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}
Płytka półfalowa z osią szybką w kierunku x ( i 0 0 − i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}
Płytka półfalowa z osią szybką w kierunku y ( − i 0 0 i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}

Macierz Jonesa elementu optycznego obróconego wokół osi optycznej o kąt θ oznacza się M(θ) i powstaje z macierzy elementu nieobróconego M jako:

M ( θ ) = R ( − θ ) M R ( θ ) , {\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}
gdzie R ( θ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) . {\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}

Należy zwrócić uwagę na fakt, iż formalizm Jonesa stosować można jedynie do fali całkowicie spolaryzowanej. W przeciwnym wypadku stosowny opis matematyczny daje bardziej złożony rachunek Muellera.

Zobacz też

  • Macierze Muellera
  • Parametry Stokesa

Bibliografia

  • E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
  • Bahaa E.A. Saleh, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons (1991). ISBN 0-471-83965-5.
  • R.C. Jones, New calculus for the treatment of optical systems, J. Opt. Soc. Am. 31, 488–493, (1941).
  • Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6.

Linki zewnętrzne

  • Jones Calculus written by E. Collett on Optipedia