H-kwadrat

H-kwadrat, H² – termin w matematyce i teorii sterowania odnoszący się do przestrzeni Hardy’ego z normą kwadratową. Jest to podprzesztrzeń przestrzeni L² i dlatego jest przestrzenią Hilberta. W szczególności jest przestrzenią Hilberta reprodukującą jądro.

Na okręgu jednostkowym

W ogólności, elementy L² na okręgu jednostkowym są dane przez

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi },}$

podczas gdy elementy H² są dane wyrażeniem

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.}$

Projekcja z L² do H² (poprzez podstawienie ${\displaystyle a_{n}=0,}$ gdy ${\displaystyle n<0}$) jest ortogonalna.

Na półpłaszczyźnie

Transformata Laplace’a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ dana wyrażeniem:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

może być rozumiana jako operator liniowy

${\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right),}$

gdzie ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ jest zbiorem funkcji całkowalnych z kwadratem, określonych na osi dodatnich liczb rzeczywistych, a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$ jest prawą półpłaszczyzną płaszczyzny zespolonej. Co więcej, jest to izomorfizm, przy tym odwracalny, izometryczny i spełniający:

${\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}$

Transformata Laplace’a jest połową transformaty Fouriera; z dekompozycji

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}$

otrzymuje się dekompozycję ortogonalną ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ do dwóch przestrzeni Hardy’ego.

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}$

Jest to w istocie twierdzenie Paley-Wienera.

Zobacz też

• H-nieskończoność
• normy
• przestrzeń unormowana

Bibliografia

• Jonathan R. Partington, „Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory”, London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.