Hiperboloida

Hiperboloida jednopowłokowa

powierzchnia stożkowa pomiędzy

Hiperboloida dwupowłokowa

Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni^[1]. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.

Równania hiperboloidy

Można ją opisać wzorem

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$  (hiperboloida jednopowłokowa)

lub

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$  (hiperboloida dwupowłokowa).

Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ daną wzorem:

${\displaystyle f(s,t)=\left(a\,{\sqrt {s^{2}+1}}\cos t,\,b\,{\sqrt {s^{2}+1}}\sin t,\,cs\right)}$ (dla hiperboloidy jednopowłokowej)

lub

${\displaystyle f(s,t)=\left(a\,{\sqrt {s^{2}-1}}\cos t,\,b\,{\sqrt {s^{2}-1}}\sin t,\,cs\right)}$ (dla hiperboloidy dwupowłokowej).

Obie hiperboloidy są asymptotyczne do powierzchni stożka o równaniu

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

Szczególne przypadki

Hiperboloidę obrotową otrzymuje się tylko gdy ${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$ W przeciwnym razie osie symetrii są jednoznacznie określone (z dokładnością do zamiany osi x z osią y).

Hiperboloida jednopowłokowa zwana też hiperboloidą hiperboliczną ma ujemną krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Implikuje to, że każda powierzchnia styczna do niej zawiera dwie proste, leżące w hiperboloidzie – hiperboloida ta jest więc powierzchnią prostokreślną.

Hiperboloida dwupowłokowa zwana hiperboloidą eliptyczną ma dodatnią krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Dlatego jest powierzchnią wypukłą w tym sensie, że powierzchnia styczna w każdym punkcie przecina tę powierzchnię tylko w punkcie styczności.

Zastosowanie kształtu

W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.

Przypisy

Linki zewnętrzne

Zobacz multimedia związane z tematem: Hiperboloida

• Hiperboloidy. arch.designcommunity.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-07-09)]. (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperboloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).