Ideał prymarny

Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego R {\displaystyle R} ideał I {\displaystyle I} o tej własności, że

jeżeli a b ∈ I {\displaystyle ab\in I} oraz a ∉ I , {\displaystyle a\notin I,} to istnieje taka liczba naturalna n , {\displaystyle n,} że b n ∈ I . {\displaystyle b^{n}\in I.}

Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element p n , {\displaystyle p^{n},} gdzie n {\displaystyle n} jest dowolną liczbą naturalną, a p {\displaystyle p} jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład jeżeli k {\displaystyle k} jest ciałem oraz k [ X , Y ] {\displaystyle k[X,Y]} oznacza pierścień wielomianów zmiennych X {\displaystyle X} i Y , {\displaystyle Y,} to ideał generowany przez wielomiany X {\displaystyle X} i Y 2 {\displaystyle Y^{2}} jest prymarny w k [ X , Y ] . {\displaystyle k[X,Y].}

Jeżeli I {\displaystyle I} jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych { I 1 , … , I n } {\displaystyle \{I_{1},\dots ,I_{n}\}} nazywany jest rozkładem prymarnym ideału I , {\displaystyle I,} gdy

I = I 1 ∩ I 2 ∩ … ∩ I n . {\displaystyle I=I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots \cap I_{n}.}

Własności

  • Każdy ideał pierwszy jest prymarny.
  • Ideał I {\displaystyle I} jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy R / I {\displaystyle R/I} nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny.
  • Jeżeli I {\displaystyle I} i J {\displaystyle J} są ideałami przy czym I ⊂ J , {\displaystyle I\subset J,} to J {\displaystyle J} jest prymarny w R {\displaystyle R} wtedy i tylko wtedy, gdy J / I {\displaystyle J/I} jest prymarny w R / I . {\displaystyle R/I.}
  • Jeżeli I {\displaystyle I} jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to
⋂ n = 1 ∞   I n = { 0 } . {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }~I^{n}=\{0\}.}

Twierdzenie Laskera-Noether

Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że

każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.

Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera[1] oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether[2].

Przypisy

  1. ↑ Emanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905), 19–116.
  2. ↑ Emmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921). 24– 66.

Bibliografia

  • Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10–52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970.