Klotoida

Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulera – krzywa, której krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od ustalonego punktu (0,0).

Opisana przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w roku 1874, w związku z badaniami w dziedzinie optyki falowej, konkretniej dyfrakcji światła^[1]. Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową.

Opis matematyczny

Równanie parametryczne klotoidy ma następującą postać:

${\displaystyle x=a{\sqrt {\pi }}\int \limits _{0}^{t}{\cos }\left({\frac {\pi t^{2}}{2}}\right)dt}$

${\displaystyle y=a{\sqrt {\pi }}\int \limits _{0}^{t}{\sin }\left({\frac {\pi t^{2}}{2}}\right)dt,}$

gdzie:

${\displaystyle t}$ – parametr ${\displaystyle t={\frac {s}{a{\sqrt {\pi }}}},}$

${\displaystyle s}$ – długość łuku,

${\displaystyle a}$ – współczynnik z równania wyrażającego proporcjonalność krzywizny ${\displaystyle \kappa }$ do długości łuku: ${\displaystyle \kappa ={\frac {s}{a^{2}}}.}$

Krzywa ta ma dwa punkty asymptotyczne o współrzędnych:

${\displaystyle \left({\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}},{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}}\right)\quad \operatorname {i} \quad \left(-{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}},-{\frac {a{\sqrt {\pi }}}{2}}\right).}$

Jest symetryczna względem punktu (0,0). Punkt ten jest również punktem przegięcia klotoidy. Oś ${\displaystyle OX}$ jest styczna do krzywej w tym punkcie.

Zobacz też

• całka Fresnela
• krzywa przejściowa
• lista krzywych

Przypisy

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cornu Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Cornu spiral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].