Kombinacja afiniczna

Kombinacja afiniczna – szczególny przypadek kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych, mający zastosowania przede wszystkim w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja formalna

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem K . {\displaystyle K.} Kombinacja afiniczna wektorów x 1 , … , x n ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V} o współczynnikach a 1 , … , a n ∈ K {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in K} to wektor

∑ i = 1 n   a i x i = a 1 x 1 + … + a n x n , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~a_{i}\mathbf {x} _{i}=a_{1}\mathbf {x} _{1}+\ldots +a_{n}\mathbf {x} _{n},}

nazywany kombinacją liniową wektorów x 1 , … , x n ∈ V , {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V,} którego suma współczynników wynosi 1 , {\displaystyle 1,} czyli

∑ i = 1 n   a i = 1. {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~a_{i}=1.}

Uwagi

W szczególności przestrzeń liniowa V {\displaystyle V} może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną A {\displaystyle A} (w tym także z samą przestrzenią V {\displaystyle V} jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady

Płaszczyzna R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Wektor x = [ 1 , 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} =[1,2]} jest kombinacją afiniczną

x = a 1 x 1 + a 2 x 2 {\displaystyle \mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}}

wektorów x 1 = [ 0 , 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=[0,2]} oraz x 2 = [ − 1 , 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} _{2}=[-1,2]} ze współczynnikami a 1 = 2 , a 2 = − 1 , {\displaystyle a_{1}=2,a_{2}=-1,} gdyż

[ 1 , 2 ] = 2 [ 0 , 2 ] + ( − 1 ) [ − 1 , 2 ] . {\displaystyle [1,2]=2[0,2]+(-1)[-1,2].}

Ten sam wektor x {\displaystyle \mathbf {x} } jest kombinacją afiniczną x 1 = x 2 = x {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} } z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub 1 2 , 1 2 . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}.}

Przestrzeń R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

Wektor x = [ 1 , − 3 , 2 ] {\displaystyle \mathbf {x} =[1,-3,2]} może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 {\displaystyle \mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+a_{3}\mathbf {x} _{3}}

wektorów x 1 = [ 1 , 0 , 2 ] , x 2 = [ 2 , 4 , 3 ] , x 3 = [ 0 , − 8 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=[1,0,2],\;\mathbf {x} _{2}=[2,4,3],\;\mathbf {x} _{3}=[0,-8,1]} o współczynnikach a 1 = 1 2 , a 2 = 1 4 , a 3 = 1 4 , {\displaystyle a_{1}={\tfrac {1}{2}},a_{2}={\tfrac {1}{4}},a_{3}={\tfrac {1}{4}},} ponieważ

[ 1 , − 3 , 2 ] = [ 1 2 + 2 4 + 0 4 , 0 2 + 4 4 − 8 4 , 2 2 + 4 4 + 1 4 ] = 1 2 [ 1 , 0 , 2 ] + 1 4 [ 2 , 4 , 3 ] + 1 4 [ 0 , − 8 , 1 ] . {\displaystyle [1,-3,2]=[{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {0}{4}},{\tfrac {0}{2}}+{\tfrac {4}{4}}-{\tfrac {8}{4}},{\tfrac {2}{2}}+{\tfrac {4}{4}}+{\tfrac {1}{4}}]={\tfrac {1}{2}}[1,0,2]+{\tfrac {1}{4}}[2,4,3]+{\tfrac {1}{4}}[0,-8,1].}

Zobacz też

Bibliografia

  • Jean Gallier: Geometric Methods and Applications. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95044-0. (zob. rozdział 2)